Распределения в математической статистике характеризуется многими статистическими параметрами. Оценка неизвестных параметров распределения на основе различных данных выборки позволяет построить распределения случайной величины.
Найти статистическую оценку неизвестного параметра распределения -- найти функцию от наблюдаемых случайных величин, которая даст приближенное значение оцениваемого параметра.
Статистические оценки можно разделить на несмещенные, смещенные, эффективные и состоятельные.
Несмещенная оценка -- статистическая оценка Q∗, которая при любом значении объема выборки, имеет математическое ожидание, равное оцениваемому параметру, то есть
M(Q∗)=QСмещенная оценка -- статистическая оценка Q∗, которая при любом значении объема выборки, имеет математическое ожидание, не равное оцениваемому параметру, то есть
M(Q∗)≠QЭффективная оценка -- статистическая оценка, которая имеет наименьшее возможное значение дисперсии при заданном объеме выборки.
Состоятельная оценка -- статистическая оценка, при которой при объеме выборки, стремящейся к бесконечности, стремится по вероятности к оцениваемому параметру Q.
Состоятельная оценка -- статистическая оценка, при которой при объеме выборки, стремящейся к бесконечности, дисперсия несмещенной оценки стремится к нулю.
Генеральная и выборочная средние
Генеральная средняя -- среднее арифметическое значений вариант генеральной совокупности.
Выборочная средняя -- среднее арифметическое значений вариант выборочной совокупности.
Величины генерального и выборочного среднего можно найти по следующим формулам:
- Если значения вариант x1, x2,…,xk имеют, соответственно, частоты n1, n2,…,nk, то
- Если значения вариант x1, x2,…,xk различны, то
С этим понятием связано такое понятие как отклонение от средней. Данная величина находится по следующей формуле:
Среднее отклонение обладает следующими свойствами:
-
∑ni(xi−¯x)=0
-
Среднее значение отклонения равно нулю.
Генеральная, выборочная и исправленная дисперсии
Еще одними из основных параметров является понятие генеральной и выборочной дисперсии:
Генеральная дисперсия:
Выборочная дисперсия:
С этими понятия связаны также генеральная и выборочная средние квадратические отклонения:
В качестве оценки генеральной дисперсии вводится понятие исправленной дисперсии:
Также вводится понятие исправленного стандартного отклонения:
Пример решения задачи
Генеральная совокупность задана следующей таблицей распределения:
Рисунок 1.
Найдем для нее генеральное среднее, генеральную дисперсию, генеральное среднее квадратическое отклонение, исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратическое отклонение.
Решение:
Для решения этой задачи для начала сделаем расчетную таблицу:
Рисунок 2.
Величина ¯xв (среднее выборочное) находится по формуле:
¯xв=k∑i=1xininТо есть
¯xв=k∑i=1xinin=8730=2,9Найдем генеральную дисперсию по формуле:
Dв=k∑i=1(xi−¯xв)2nin=60,730=2,023Генеральное среднее квадратическое отклонение:
σв=√Dв≈1,42Исправленная дисперсия:
S2=nn−1Dв=3029⋅2,023≈2,09Исправленное среднее квадратическое отклонение:
S=√S2≈1,45
