Пусть нам дан конечный числовой ряд $a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n$. Для этого ряда определятся пять основных статистических характеристик: среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, медиана и мода. По-другому совокупность этих понятий называют показателями центра распределения совокупности.
Среднее арифметическое
Пусть нам дана дискретная совокупность, состоящая из $n$ чисел, тогда
Среднее арифметическое совокупности чисел называется сумма всех чисел, входящих в совокупность, деленное на их количество, то есть:
\[A\left(a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n\right)=\frac{a_1+a_2+\ \dots ,+a_n}{n}=\frac{\sum\limits^n_{i=1}{a_i}}{n}\]Пусть теперь дана непрерывно распределенная совокупность, тогда
Среднее арифметическое непрерывно распределенной случайной величины на отрезке $[a,b]$ называется величина $\overline{{f(x)}_{\left[a,b\right]}}$ определенная формулой
\[\overline{{f(x)}_{\left[a,b\right]}}=\frac{1}{b-a}\int\limits^b_a{f\left(x\right)dx}\]Среднее геометрическое совокупности $n$ чисел называется значение величины $G(a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n)$, определяемое формулой:
\[G\left(a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n\right)=\sqrt[n]{a_1a_2\ \dots a_n}={\left(\prod\limits^n_{i=1}{a_i}\right)}^{\frac{1}{n}}\]Среднее гармоническое
Пусть нам дан конечный ряд положительных чисел $a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n>0$, тогда
Среднее гармоническое положительных чисел -- число, обратное среднему арифметическому обратных чисел, то есть:
\[A^{-1}\left(a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n\right)=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\ \frac{1}{a_2}+\dots +\frac{1}{a_n}}=\frac{n}{\sum\limits^n_{i=1}{\frac{1}{a_i}}}\]Медиана
Понятие медианы имеет два определения в зависимости от количества элементов совокупности (четно оно или нечетно).
Пусть количество элементов $a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n$ нечетно, тогда
Медианой для конечного упорядоченного ряда чисел, имеющего нечетное число элементов, называется число, записанное в середине данного ряда, то есть элемент $a_{\frac{n+1}{2}}$.
Пусть количество элементов $a_1,\ a_2,\ \dots ,\ a_n$ четно, тогда
Медианой для конечного упорядоченного ряда чисел, имеющего четное число элементов, называется среднее арифметическое двух чисел, записанных в середине данного ряда, то есть
\[m=\frac{a_{\frac{n}{2}}+a_{\frac{n}{2}+1}}{2}\]Отметим, что любой конечный неупорядоченный числовой ряд можно упорядочить, следовательно, понятие медианы применимо и к произвольным числовым рядам.
Мода
Мода -- наиболее часто встречающееся значение данного множества.
Дано множество $1, 3, 4, 3, 3, 2, 4, 3$. Модой данного множества будет элемент 3, так как он встречается чаще остальных (4 раза).
Понятие моды применимо не только к числовым множествам.
Дано множество, состоящее из 5 шариков: красного, двух синих, зеленого и белого. В этом случае модой будет элемент «синий шарик».
В связи с понятием моды можно выделить мультимодальные множества:
Множество называется мультимодальным, если оно имеет более одной моды.
Пусть дано числовое множество $1, 1, 3, 4, 3, 1, 2, 4, 3$. Здесь и элемент «1», и элемент «3» встречаются чаще остальных, но при этом одинаковое количество раз. То есть в данном случае мода равняется двум значениям 1 и 3.
В офисе работает 10 работников. Их заработные платы в тысячах рублей записаны в таблице:
Найти для данной совокупности чисел среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое, медиану и моду.
Решение:
- Найдем среднее арифметическое по формуле $A=\frac{\sum\limits^n_{i=1}{a_i}}{n}$. Так как совокупность состоит из 10 элементов, получим: \[A=\frac{25+21+20+25+23+22+20+25+23+23}{10}=\frac{227}{10}=22,7\]
- Найдем среднее геометрическое по формуле $G=\sqrt[n]{a_1a_2\ \dots a_n}$, получим: \[G=\sqrt[{10}]{25\cdot 21\cdot 20\cdot 25\cdot 23\cdot 22\cdot 20\cdot 25\cdot 23\cdot 23}=\sqrt[n]{35132212500000}\approx 22,6\]
- Найдем среднее гармоническое по формуле $A^{-1}=\frac{n}{\sum\limits^n_{i=1}{\frac{1}{a_i}}}$, получим: \[\frac{10}{\frac{1}{25}+\frac{1}{21}+\frac{1}{20}+\frac{1}{25}+\frac{1}{23}+\frac{1}{22}+\frac{1}{20}+\frac{1}{25}+\frac{1}{23}+\frac{1}{23}}=\] \[=\frac{25\cdot 23\cdot 22\cdot 21\cdot 20\cdot 10}{637560+693000+241500+253000+531300}=\frac{53150000}{2356360}\approx 22,5\]
- Найдем медиану. Так как наш ряд чисел неупорядочен сначала упорядочим его, получим ряд: \[\left(20,\ 20,\ 21,\ 22,\ 23,\ 23,\ 23,\ 25,\ 25,\ 25\right)\]
- Найдем моду. Очевидно, что здесь мода равна 23 и 25.
Так как количество элементов четно, то воспользуемся определением 6:
\[\frac{23+23}{2}=23\]
