Распределение Пуассона

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Случайная величина $Х$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$ ( $\lambda$ $>$ 0), если эта величина принимает целые неотрицательные значения $к=0, 1, 2,\dots$ с вероятностями $рк$ = $\frac{\lambda ^{:} }{:!} \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком Симеоном Дени Пуассоном в 1837 г.)

Распределение Пуассона также называют законом редких событий, потому, что вероятности рк дают приближенное распределение числа наступлений некоторого редкого события при большом количестве независимых испытаний. В этом случае полагают $\lambda =n \cdot р$ , где $n$ - число испытаний Бернулли, $р$ - вероятность осуществления события в одном испытании.

Правомерность использования закона Пуассона вместо биномиального распределения при большом числе испытаний дает следующая теорема.

Теорема 1

Теорема Пуассона.

Если в схеме Бернулли n $\rightarrow$ $\infty$ , p $\rightarrow$ 0, так что $n \cdot p$ $\rightarrow$ $\lambda$ (конечному числу), то

$!_{n}^{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \to \frac{\lambda ^{k} }{k!} e^{-\lambda }$ при любых $k=0, 1, 2,...$

Без доказательства.

Примечание 1

Формула Пуассона становится точнее, при малениких $p$ и больших чисел $n$ , причём $n \cdot p$

Математическое ожидание случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром $\lambda$ :

$М(Х)$ = $\sum \limits _{k=0}^{\infty }k\cdot \frac{\lambda ^{k} }{k!} e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } =$ $\lambda$ .

«Распределение Пуассона» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона параметром $\lambda$ :

$D(X)$ = $\lambda$ .

Применение формулы Пуассона при решении задач

Пример 1

Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна $0,002$ . Найти вероятность того, что в партии из $1500$ изделий будет не более 3-х бракованных. Найти среднее число бракованных изделий.

Решение.

Пусть $А$ -число бракованных изделий в партии из $1500$ изделий. Тогда искомая вероятность, это вероятность того, что $А$ $\leq$ $3$ . В данной задаче мы имеем схему Бернулли с $n=1500$ и $р=0,002$ . Для применения теоремы Пуассона положим $\lambda=1500 \cdot 0,002=3$ . Тогда искомая вероятность

$P =e^{-3} (1+\frac{3}{1!} +\frac{3^{2} }{2!} +\frac{3^{3} }{3!} )=\frac{13}{e^{3} } \approx 0,65.$

Среднее число бракованных изделий $М(А)$ = $\lambda$ =3.

Пример 2

Коммутатор учреждения обслуживает $100$ абонентов. Вероятность того, что в течение $1$ минуты абонент позвонит, равна $0,01$ . Найти вероятность того, что в течение $1$ минуты никто не позвонит.

Решение.

Пусть $А$ - число позвонивших на коммутатор в течение $1$ минуты. Тогда искомая вероятность -- это вероятность того, что $А=0$ . В данной задаче применима схема Бернулли с $n=100$ , $p=0,01$ . Для использования теоремы Пуассона положим

$\lambda=100 \cdot 0,01=1$ .

Тогда искомая вероятность

$Р = е^-1$ $\approx0,37$ .

Пример 3

Завод отправил на базу $500$ изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна $0,002$ . Найти вероятности того, что в пути будет повреждено

ровно три изделия;
менее трех изделий.

Решение.

Рассмотрев замечание к формуле Пуассона, поскольку вероятность $р=0,002$ повреждения изделия мала, а число изделий $n=500$ велико, и $a=n\cdot p=1
Для решения второй задачи применима формула, где $k1=0$ и $k2=2$ . Имеем:

$P_{500} (0\le k\le 2)=e^{-1} \cdot \sum \limits _{k=0}^{2}\frac{1}{k!} \approx 0,92.$

Пример 4

Учебник издан тиражом $100000$ экземпляров. Вероятность того, что один учебник сброшюрован неправильно, равна $0,0001$ . Какова вероятность того, что тираж содержит $5$ бракованных книг?

Решение.

По условию задачи $n = 100000$ , $p = 0,0001$ .

События "из $n$ книг ровно $m$ книг сброшюрованы неправильно", где $m = 0,1,2, \dots ,100000$ , являются независимыми. Так как число $n$ велико, а вероятность $p$ мала, вероятность $P_n (m)$ можно вычислить по формуле Пуассона: $P_n$ (m) $\approx \frac{{\lambda }^m\cdot e^{-\lambda }}{m!}$ , где $\lambda = np$ .

В рассматриваемой задаче

$\lambda = 100000 \cdot 0,0001 = 10$ .

Поэтому искомая вероятность $P_{100000}$ (5) определяется равенством:

$P_{100000}$ (5) $\approx \frac{e^{-10}\cdot {10}^5}{5!}\approx$ ${10}^5$ • $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$ .

Ответ: $0,0375$ .

Пример 5

Завод отправил на базу $5000$ доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредиться равно $0,0002$ . Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия.

Решение.

По условию $n=5000$ ; $р = 0,0002$ ; $k = 3$ . Найдем $\lambda$ :

$\lambda = n \cdot p = 5000 \cdot 0,0002 = 1$ .

Искомая вероятность по формуле Пуассона равна:

$P_{5000} (3)=\lambda ^{k} \cdot e^{-\lambda } /k!=1^{3} \cdot e^{-1} /3!=\frac{1}{6e} \approx 0,062.$

Пример 6

Вероятность того, что на телефонную станцию в течение одного часа позвонит один абонент, равна 0,01. В течение часа позвонили 200 абонентов. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят 3 абонента.

Решение:

Рассматрев условие задачи видим, что:

$p=0,01, n=200.$

Найдем $\lambda$ для формуллы Пуассона: