Случайная величина $Х$ имеет распределение Пуассона с параметром $\lambda$ ($\lambda$$>$0), если эта величина принимает целые неотрицательные значения $к=0, 1, 2,\dots$ с вероятностями $рк$=$\frac{\lambda ^{:} }{:!} \cdot 5^{-\lambda } .$ (Это распределение впервые было рассмотрено французским математиком и физиком Симеоном Дени Пуассоном в 1837 г.)
Распределение Пуассона также называют законом редких событий, потому, что вероятности рк дают приближенное распределение числа наступлений некоторого редкого события при большом количестве независимых испытаний. В этом случае полагают $\lambda =n \cdot р$ , где $n$- число испытаний Бернулли, $р$- вероятность осуществления события в одном испытании.
Правомерность использования закона Пуассона вместо биномиального распределения при большом числе испытаний дает следующая теорема.
Теорема Пуассона.
Если в схеме Бернулли n$\rightarrow$$\infty$, p$\rightarrow$0, так что $n \cdot p$$\rightarrow$$\lambda$ (конечному числу), то
$!_{n}^{k} p^{k} (1-p)^{n-k} \to \frac{\lambda ^{k} }{k!} e^{-\lambda } $ при любых $k=0, 1, 2,... $
Без доказательства.
Формула Пуассона становится точнее, при малениких $p$ и больших чисел $n$, причём $n \cdot p $
Математическое ожидание случайной величины, имеющей распределение Пуассона с параметром $\lambda$:
$М(Х)$=$\sum \limits _{k=0}^{\infty }k\cdot \frac{\lambda ^{k} }{k!} e^{-\lambda } =\lambda \cdot e^{-\lambda } \sum \limits _{k=1}^{\infty }\frac{\lambda ^{k} }{k!} =\lambda \cdot e^{-\lambda } \cdot e^{\lambda } = $$\lambda$.
Дисперсия случайной величины, имеющей распределение Пуассона параметром $\lambda$:
$D(X)$=$\lambda$ .
Применение формулы Пуассона при решении задач
Вероятность появления бракованного изделия при массовом производстве равна $0,002$. Найти вероятность того, что в партии из $1500$ изделий будет не более 3-х бракованных. Найти среднее число бракованных изделий.
Решение.
- Пусть $А$-число бракованных изделий в партии из $1500$ изделий. Тогда искомая вероятность, это вероятность того, что $А$ $\leq$ $3$. В данной задаче мы имеем схему Бернулли с $n=1500$ и $р=0,002$. Для применения теоремы Пуассона положим $\lambda=1500 \cdot 0,002=3$. Тогда искомая вероятность
- Среднее число бракованных изделий $М(А)$=$\lambda$=3.
Коммутатор учреждения обслуживает $100$ абонентов. Вероятность того, что в течение $1$ минуты абонент позвонит, равна $0,01$. Найти вероятность того, что в течение $1$ минуты никто не позвонит.
Решение.
Пусть $А$- число позвонивших на коммутатор в течение $1$ минуты. Тогда искомая вероятность -- это вероятность того, что $А=0$. В данной задаче применима схема Бернулли с $n=100$, $p=0,01$. Для использования теоремы Пуассона положим
$\lambda=100 \cdot 0,01=1$.
Тогда искомая вероятность
$Р = е^-1$ $\approx0,37$.
Завод отправил на базу $500$ изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна $0,002$. Найти вероятности того, что в пути будет повреждено
- ровно три изделия;
- менее трех изделий.
Решение.
Рассмотрев замечание к формуле Пуассона, поскольку вероятность $р=0,002$ повреждения изделия мала, а число изделий $n=500$ велико, и $a=n\cdot p=1
-
Для решения второй задачи применима формула, где $k1=0$ и $k2=2$. Имеем:
Учебник издан тиражом $100000$ экземпляров. Вероятность того, что один учебник сброшюрован неправильно, равна $0,0001$. Какова вероятность того, что тираж содержит $5$ бракованных книг?
Решение.
По условию задачи $n = 100000$, $p = 0,0001$.
События "из $n$ книг ровно $m$ книг сброшюрованы неправильно", где $m = 0,1,2, \dots ,100000$, являются независимыми. Так как число $n$ велико, а вероятность $p$ мала, вероятность $P_n (m)$ можно вычислить по формуле Пуассона: $P_n$(m)$\approx \frac{{\lambda }^m\cdot e^{-\lambda }}{m!}$ , где $\lambda = np$.
В рассматриваемой задаче
$\lambda = 100000 \cdot 0,0001 = 10$.
Поэтому искомая вероятность $P_{100000}$(5) определяется равенством:
$P_{100000}$ (5)$\approx \frac{e^{-10}\cdot {10}^5}{5!}\approx $ ${10}^5$ • $\frac{0,000045}{120}$ = $0,0375$.
Ответ: $0,0375$.
Завод отправил на базу $5000$ доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредиться равно $0,0002$. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия.
Решение.
По условию $n=5000$; $р = 0,0002$; $k = 3$. Найдем $\lambda $:
$\lambda = n \cdot p = 5000 \cdot 0,0002 = 1$.
Искомая вероятность по формуле Пуассона равна:
\[P_{5000} (3)=\lambda ^{k} \cdot e^{-\lambda } /k!=1^{3} \cdot e^{-1} /3!=\frac{1}{6e} \approx 0,062.\]Вероятность того, что на телефонную станцию в течение одного часа позвонит один абонент, равна 0,01. В течение часа позвонили 200 абонентов. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят 3 абонента.
Решение:
Рассматрев условие задачи видим, что:
\[p=0,01, n=200.\]Найдем $\lambda $ для формуллы Пуассона:
\[\lambda =np=200\cdot 0,01=2.\]Подставим значения в формулу Пуассона и получим значение:
\[P_{200} \left(3\right)\approx \frac{2^{3} }{3!} e^{-2} =\frac{4}{3e^{2} } \approx 0,18.\]На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно для 2-х студентов?
Решение.
Имеем $n=500$; $p=1/365 \approx 0,0027$, $q=0,9973$. Поскольку количество испытаний велико, а вероятность выполнения очень мала и $npq=1,35 \[P_{500} \left(2\right)=\frac{\left(500\cdot 0,0027\right)^{2} }{2!} e^{-500\cdot 0,0027} \approx 0,2362.\]
