Представление о распределении объемного заряда и электростатического потенциала в атоме

Распределение плотности электронного облака в атоме водорода

Рассмотрим пространственную структуру атома водорода в стационарном состоянии.

Вероятность нахождения электрона в элементе объема:

возле точки с координатами $r,\theta ,\varphi $ равна:

где квантовые числа опустим для сокращения записи, $R(r)$ -- радиальная функция, $Y\left(\theta ,\varphi \right)-угловая\ фунекиция$. Вероятности (2) ставят в соответствие представление об электроне в виде облака, которое имеет плотность. Причем эта плотность пропорциональна ${\left|\psi(r,\theta ,\varphi )\right|}^2$. Величина $q_e{\left|\psi(r,\theta ,\varphi )\right|}^2=\rho $ называется плотностью заряда электрона и считается непрерывно распространенной в пространстве. Часто используют следующую интерпретацию: Полагают, что электрон обегает пространство, которое занимает атом, при этом время пребывания электрона в объеме dV пропорционально${\left|\psi(r,\theta ,\varphi )\right|}^2.$

Структура электронного облака задает пространственную конфигурацию атома. Часто, для упрощения, рассматривают радиальное и угловое распределения плотности облака отдельно.

Вероятность обнаружить электрон в шаровом слое $r\ и\ r+dr\ $ равна:

Плотность вероятности для координаты r при этом описано функцией:

Используя радиальные волновые функции ($R_{nl}$) в явном виде для состояний атома водорода можно из выражения (4) найти зависимости плотности электронного облака от расстояния $(r)$. Отметим, что вероятность обнаружения электрона очень близко к ядру и на больших расстояниях от ядра мала. Плотность облака существенна на конечных расстояниях от ядра.

Нахождение средних расстояний дает формулу:

где $r_B$ -- Боровский радиус.

Из формулы (5) видно, что $\left\langle r_{nl}\right\rangle $ растер при увеличении $n$ (главного квантового числа), при установленном $n$ уменьшается в зависимости от роста орбитального квантового числа ($l$).

Четкой границы у атома не существует, но плотность электронного облака по экспоненте уменьшается при $r >\left\langle r\right\rangle $. В состоянии $l=n-1$ имеем:

Рассмотрим угловое распределение электронного облака. Вероятность нахождения электрона в пределах элемента телесного угла ($d\Omega =sin\theta d\theta d\varphi $) в направлении, которое задается углами $\theta $ и $\varphi $ равна:

При этом плотность вероятности равна:

Функция $Y_{lm}\sim e^{im\varphi }$, следовательно $p_{lm}$ от угла $\varphi $ не зависит. Следовательно, электронное облако имеет осевую симметрию.

Распределение по полярному углу $\theta $ обычно представляют графически в полярных диаграммах. При этом на полярной оси от начала координат откладывают величины $p_{lm}$. Через полученные точки проводят линию. Чем дальше точки от начала координат, тем выше вероятность найти частицу в исследуемом направлении.

Для больших величин $n\ и\ l$ строение атома водорода весьма сложное.

Плотность электронного облака в атоме со многими электронами

Пусть пара сопряженных величин: координата $q$ и импульс $p$ определяют координаты точки в $pq$ - плоскости. Перейдя к движению в пространстве, имеем три координаты и три импульса ($6$-мерное пространство). Положим, что все электроны в атоме имеют одинаковые условия. Каждый электрон подчинен закону сохранения энергии (его потенциальная энергия равна $q_e\varphi ,\ \varphi $ -- средний потенциал). В каждой ячейке объемом $h^3$ может находиться только два электрона, при этом максимальный их имеющихся импульсов равен $p_{max}$. Плотность электронов можно выразить как ($p \[\rho =-\frac{8\pi q_e}{3}{\left(\frac{p_{max}}{h}\right)}^3\left(9\right).\]

Электростатический потенциал в атоме

Если известны, плотность заряда ($\rho $) и импульс ($p_{max}$), то их можно связать с электростатическим потенциалом (${\varphi }_e$). Для этого используется уравнение Пуассона, считая, что $\rho $ и ${\varphi }_e$ симметричны относительно ядра и зависят только от расстояния до него. Данное уравнение принимает вид:

Из закона сохранения энергии имеем:

Принимая во внимание то, что в атоме связаны только те электроны, для которых работа, требуемая для переноса их на поверхность атома, положительна. Рассматривая ионы с зарядом равным $Zq_e,$ вводим сферу радиуса $R$, вне которой потенциал имеет кулоновский вид:

Этот потенциал учитывается при подсчете работы, которая необходима для удаления электрона. Будем считать, что $E=0$ для электрона на этой сфере, получаем для максимального импульса выражение:

На потенциал накладываются граничные условия вида:

Так как около ядра вклад электронов в потенциал несущественный, то следующее граничное условие запишем как:

Подставим выражение (11) в формулу (9) получаем:

Если умножить выражение (14) на $\frac{1}{{\varepsilon }_0}$, то получим правую часть уравнения Пуассона. То есть (10) примет вид:

Уравнение Пуассона содержит одну неизвестную функцию.