Биномиальное распределение

Действительная функция $\xi =\varphi (\omega )$ определенная на измеримом пространстве $\{ \Omega ,{\rm F}\}$ называется измеримой или случайной величиной, если

или

прообраз $f^{-1} (B)={\rm \; }\{ \omega :{\rm \; \; }\varphi (\omega )\subset B\}$

является измеримым множеством в $\Omega$.

Вероятностная мера $P_{\xi }$ на $\{ R,B(R)\}$ с вероятностью $P_{\xi } =P\{ \omega :{\rm \; \; }\varphi (\omega )\subset B\}$, $B\subset B(R)$, называется распределением вероятностей случайной величины $\xi$ на измеримом пространстве $\{ R,B(R)\}$.

Функция

Дискретной называется случайная величина, которая каждому элементарному событию $\omega$ ставит в соответствие одно из конечного или счетного набора

Дискретная случайная величина полностью задается своим рядом распределения.

Пусть случайная величина $\xi$ принимает значения $x_{1}$

Рисунок 1. Таблица 1

или

Рисунок 2. Таблица 2

Непрерывная случайная величина это функцию $\xi =\varphi (\omega )$, множеством значений которой является некоторый числовой интервал $(a,b)$, $a,b\in R$, $a

Функция $\rho _{\xi } (x)$ - это плотность распределения вероятностей (или плотностью распределения) непрерывной случайной величины $\xi$, если она удовлетворяет условиям:

1. $\forall x\in R$ $\rho _{\xi } (x)\ge 0$;

2. $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\rho _{\xi } (x) dx=1$.

Легко показать, что

Случайная величина $\xi$ распределена по биномиальному закону, если ее значения являются количеством наступлений события $A$ в схеме Бернулли из $n$ испытаний, то есть, задается следующим рядом распределения (табл. 3)

Рисунок 3. Таблица 3

Общее число $\xi$ появлений события $A$ в $n$ испытаниях складывается из числа появлений события в отдельных независимых испытаниях $\xi _{i}$, $i=1,2,...,n$, где $\xi _{i}$ $-$ случайная величина, равная количеству наступлений события $A$ в $i$-ом испытании, то есть, распределение (табл. 4) каждой случайной величины $\xi _{i}$ имеет следующий вид:

Рисунок 4. Таблица 4

Отсюда $M(\xi _{i} )=\sum \limits _{i=1}^{2}x_{i} \cdot p_{i} =0\cdot q+1\cdot p=p$;