Пусть имеется полная группа несовместных событий -- гипотез $Н_1, Н_2,\dots , Н_n$. Вероятности этих гипотез до опыта известны и равны соответственно: $P\left(H_{1} \right),P\left(H_{2} \right),...,P\left(H_{n} \right)$.
Произведен опыт, в результате которого событие А появилось. Какие вероятности получат гипотезы в связи с появлением события А. По-другому будем искать условные вероятности $P\left({\raise0.7ex\hbox{$ H_{i} $} \left/{\vphantom{H_{i} A}}\right.\lower 0.7ex\hbox{$ A $}} \right)$ для каждой гипотезы.
Теорема Байеса
Вероятность гипотезы при условии, что событие А произошло, равна произведению вероятности этой гипотезы на соответствующую ей условную вероятность события А, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность события А.
\[P(H_{i} /A)=\frac{P(H_{i} )\cdot P(A/H_{i} )}{\sum \limits _{i=1}^{n}P(H_{i} )\cdot P(A/H_{i} )} \]Согласно теореме умножения для двух событий
$$P(AH_i)=P(A) \cdot P (H_i/A)=P(H_i) \cdot P(A/H_i)$$Откуда
\[P(H_{i} /A)=\frac{P(H_{i} )\cdot P(A/H_{i} )}{P(A)} \]Выразив $Р(А)$ получим формулу:
\[P(H_{i} /A)=\frac{P(H_{i} )\cdot P(A/H_{i} )}{\sum \limits _{i=1}^{n}P(H_{i} )\cdot P(A/H_{i} )} \]которая носит название формулы Байеса. Теорема доказана.
Каждый из двух стрелков независимо друг от друга произвел выстрел по некоторому объекту. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; вторым -- 0,6. Объект поражен одним попаданием. Определить вероятность того, что объект поражен первым стрелком.
Решение.
Обозначим событие А -- поражение объекта одним попаданием. Для опыта виделим следующие гипотезы:
$Н_1$ -- стрелки не попадают;
$Н_2$ -- стрелки одновременно попадают;
$Н_3$ -- первый стрелок попадет, второй -- нет;
$Н_4$ -- второй стрелок попадет, первый -- нет.
Найдем вероятность этих гипотез:
$P(H_1)=0,3•0,4=0,12,$
$$P(H_2)=0,7•0,6=0,42,$$ $$P(H_3)=0,7•0,4=0,28,$$ $$P(H_4)=0,3•0,6=0,18.$$Найдем условные вероятности события А при этих гипотезах:
$$P(A/H_1)=0$$ $$P(A/H_2)=0$$ $$P(A/H_3)=1$$ $$P(A/H_4)=1$$После опыта гипотезы $Н_1$ и $Н_2$ становятся невозможными, а вероятности гипотез $Н_3$ и $Н_4$ будут соответственно равны.
\[P\left(H_{3} /A \right)=\frac{P\left(H_{3} \right)\cdot P\left(A/H_{3} \right)}{P\left(H_{3} \right)\cdot P\left(A/H_{3} \right)+P\left(H_{4} \right)\cdot P\left(A/H_{4} \right)} =\frac{0,28\cdot 1}{0,28+0,18} \approx 0,61;\]Следовательно, вероятность того, что объект поражен первым стрелком, равна 0,61.
Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7, в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4, и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста равна 0,3, в периоды умеренного экономического роста -- 0,5 и низкого роста -- 0,2. Предположим, доллар дорожает в течение текущего периода, чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?
Решение. Обозначим гипотезы: $Н_1$ -- «активный экономический рост»; $H_2$ -- «умеренный экономический рост»; $H_3$ -- «низкий экономический рост».
Обозначим событие А -- «доллар дорожает». Получим:
$Р(Н_1) = 0,3$;
$Р(Н_2) = 0,5$;
$Р(Н_3) = 0,2$;
$Р(А/Н_1) = 0,7$;
$Р(А/Н_2) = 0,4$;
$Р(A/Н_3) = 0,2$.
Необходимо найти: $Р(Н_1/А)$.
Пользуясь формулой Бейеса и подставив заданные значения вероятностей, получаем:
\[P(H_{1} /A)=\frac{P(H_{1} )\cdot P(A/H_{1} )}{P(H_{1} )\cdot P(A/H_{1} )+P(H_{2} )\cdot P(A/H_{2} )+P(H_{3} )\cdot P(A/H_{3} )} =\] \[=\frac{0,3\cdot 0,7}{0,3\cdot 0,7+0,5\cdot 0,4+0,2\cdot 0,2} =0,467.\]При разрыве бронебойного снаряда крупные осколки составляют 20% от общего числа осколков, средние -- 30%, мелкие 50%. Вероятность того, что крупный осколок пробьет броню танка, равна 0,8. Для мелких и средних осколков эти вероятности соответственно равны 0,5 и 0,2.
- Найти вероятность того, что осколок пробьет броню.
- Броня танка оказалась пробитой. Найти вероятность того, что пробоина произошла от мелкого осколка.
Решение.
Обозначим события: $А$ -- броня танка пробита; $H_1$ -- осколок крупный; $H_2$ -- осколок средний; $H_3$ -- осколок мелкий.
События $H_1$, $H_2$, $H_3$ -- это полная система гипотез. Найдем вероятности этих гипотез. По условию 20% осколков крупные, 30% -- средние и 50% - мелкие. Найдем вероятности событий $H_1$, $H_2$, $H_3$:
$$P(H_1)=0,2;$$ $$P(H_2)=0,3;$$ $$P(H_3)=0,5.$$Выполним проверку:
$$P(H_1)+P(H_2)+P(H_3)=0,2+0,3+0,5=1.$$Найдем условные вероятности события А при наших гипотезах. Получим:
$$P(А /H_1)=0,8; P(А /H_2)=0,5; P(А /H_3)=0,2.$$Вероятность события А посчитаем за формулой полной вероятности и получим:
\[P(A)=\sum \limits _{k=1}^{3}P(H_{k} )\cdot P(A/H_{k} )=0,2\cdot 0,8+0,3\cdot 0,5+0,5\cdot 0,2=0,41.\]Для решения второй части задачи воспользуемся формулой Байеса. Найдем вероятность того, что пробоина в броне произошла от мелкого осколка (событие $H_3$), т.е. вероятность $P(H_3/А)$. По формуле Байеса найдем значение:
\[P(H_{3} /A)=\frac{P(H_{3} )\cdot P(A/H_{3} )}{\sum \limits _{k=1}^{3}P(H_{k} )\cdot P(A/H_{k} )} =\frac{0,5\cdot 0,2}{0,41} =\frac{0,1}{0,41} \approx 0,24. \]Решение. Будем считать, что выписаный из больницы полностью здоров. По формуле полной вероятности найдем $P(A)$. По условию задачи:
$$Р(Н_1) = 0,4; $$ $$Р(Н_2) = 0,35;$$ $$Р(Н_3) = 0,25;$$ $$Р(А/Н_1) = 0,9;$$ $$Р(А/Н_2) = 0,8$$ $$Р(A/Н_3) = 0,7. $$Тогда по формуле полной вероятности:
\[P(A)=\sum \limits _{k=1}^{3}P(H_{k} )\cdot P(A/H_{k} )=0,4\cdot 0,9+0,35\cdot 0,8+0,25\cdot 0,7=0,815.\]По формуле Байеса найдем:
\[P(H_{2} /A)=\frac{P(H_{2} )\cdot P(A/H_{2} )}{P(H_{1} )\cdot P(A/H_{1} )+P(H_{2} )\cdot P(A/H_{2} )+P(H_{3} )\cdot P(A/H_{3} )} =\] \[=\frac{0,35\cdot 0,8}{0,815} =0,344.\]
