Вероятность гипотез, формула Бейеса

Каждый из двух стрелков независимо друг от друга произвел выстрел по некоторому объекту. Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; вторым -- 0,6. Объект поражен одним попаданием. Определить вероятность того, что объект поражен первым стрелком.

Решение.

Обозначим событие А -- поражение объекта одним попаданием. Для опыта виделим следующие гипотезы:

$Н_1$ -- стрелки не попадают;

$Н_2$ -- стрелки одновременно попадают;

$Н_3$ -- первый стрелок попадет, второй -- нет;

$Н_4$ -- второй стрелок попадет, первый -- нет.

Найдем вероятность этих гипотез:

$P(H_1)=0,3•0,4=0,12,$

$$P(H_2)=0,7•0,6=0,42,$$ $$P(H_3)=0,7•0,4=0,28,$$ $$P(H_4)=0,3•0,6=0,18.$$

Найдем условные вероятности события А при этих гипотезах:

$$P(A/H_1)=0$$ $$P(A/H_2)=0$$ $$P(A/H_3)=1$$ $$P(A/H_4)=1$$

После опыта гипотезы $Н_1$ и $Н_2$ становятся невозможными, а вероятности гипотез $Н_3$ и $Н_4$ будут соответственно равны.

$$P\left(H_{3} /A \right)=\frac{P\left(H_{3} \right)\cdot P\left(A/H_{3} \right)}{P\left(H_{3} \right)\cdot P\left(A/H_{3} \right)+P\left(H_{4} \right)\cdot P\left(A/H_{4} \right)} =\frac{0,28\cdot 1}{0,28+0,18} \approx 0,61;$$

Следовательно, вероятность того, что объект поражен первым стрелком, равна 0,61.

Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7, в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4, и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста равна 0,3, в периоды умеренного экономического роста -- 0,5 и низкого роста -- 0,2. Предположим, доллар дорожает в течение текущего периода, чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

Решение. Обозначим гипотезы: $Н_1$ -- «активный экономический рост»; $H_2$ -- «умеренный экономический рост»; $H_3$ -- «низкий экономический рост».

Обозначим событие А -- «доллар дорожает». Получим:

$Р(Н_1) = 0,3$;

$Р(Н_2) = 0,5$;

$Р(Н_3) = 0,2$;

$Р(А/Н_1) = 0,7$;

$Р(А/Н_2) = 0,4$;

$Р(A/Н_3) = 0,2$.

Необходимо найти: $Р(Н_1/А)$.

Пользуясь формулой Бейеса и подставив заданные значения вероятностей, получаем:

$$P(H_{1} /A)=\frac{P(H_{1} )\cdot P(A/H_{1} )}{P(H_{1} )\cdot P(A/H_{1} )+P(H_{2} )\cdot P(A/H_{2} )+P(H_{3} )\cdot P(A/H_{3} )} =$$ $$=\frac{0,3\cdot 0,7}{0,3\cdot 0,7+0,5\cdot 0,4+0,2\cdot 0,2} =0,467.$$

При разрыве бронебойного снаряда крупные осколки составляют 20% от общего числа осколков, средние -- 30%, мелкие 50%. Вероятность того, что крупный осколок пробьет броню танка, равна 0,8. Для мелких и средних осколков эти вероятности соответственно равны 0,5 и 0,2.

1. Найти вероятность того, что осколок пробьет броню.
2. Броня танка оказалась пробитой. Найти вероятность того, что пробоина произошла от мелкого осколка.

Решение.

Обозначим события: $А$ -- броня танка пробита; $H_1$ -- осколок крупный; $H_2$ -- осколок средний; $H_3$ -- осколок мелкий.

События $H_1$, $H_2$, $H_3$ -- это полная система гипотез. Найдем вероятности этих гипотез. По условию 20% осколков крупные, 30% -- средние и 50% - мелкие. Найдем вероятности событий $H_1$, $H_2$, $H_3$:

$$P(H_1)=0,2;$$ $$P(H_2)=0,3;$$ $$P(H_3)=0,5.$$

Выполним проверку:

$$P(H_1)+P(H_2)+P(H_3)=0,2+0,3+0,5=1.$$

Найдем условные вероятности события А при наших гипотезах. Получим:

$$P(А /H_1)=0,8; P(А /H_2)=0,5; P(А /H_3)=0,2.$$

Вероятность события А посчитаем за формулой полной вероятности и получим:

$$P(A)=\sum \limits _{k=1}^{3}P(H_{k} )\cdot P(A/H_{k} )=0,2\cdot 0,8+0,3\cdot 0,5+0,5\cdot 0,2=0,41.$$

Для решения второй части задачи воспользуемся формулой Байеса. Найдем вероятность того, что пробоина в броне произошла от мелкого осколка (событие $H_3$), т.е. вероятность $P(H_3/А)$. По формуле Байеса найдем значение:

$$P(H_{3} /A)=\frac{P(H_{3} )\cdot P(A/H_{3} )}{\sum \limits _{k=1}^{3}P(H_{k} )\cdot P(A/H_{k} )} =\frac{0,5\cdot 0,2}{0,41} =\frac{0,1}{0,41} \approx 0,24.$$

Специализированая больница принимает в среднем 40% больных, которые имеют заболевание $H_1$, 35% - что имеют заболевание $H_2$ и 25% - $H_3$. Статистически известно, что лечение болезни $H_1$ равняется 0,9, для болезни $H_2$ и $H_3$ эти вероятности равняются 0,8 и 0,7. Какая вероятность того, что выписаный из больницы болел болезнью $H_2$?

Решение. Будем считать, что выписаный из больницы полностью здоров. По формуле полной вероятности найдем $P(A)$. По условию задачи:

$$Р(Н_1) = 0,4;$$ $$Р(Н_2) = 0,35;$$ $$Р(Н_3) = 0,25;$$ $$Р(А/Н_1) = 0,9;$$ $$Р(А/Н_2) = 0,8$$ $$Р(A/Н_3) = 0,7.$$

Тогда по формуле полной вероятности:

$$P(A)=\sum \limits _{k=1}^{3}P(H_{k} )\cdot P(A/H_{k} )=0,4\cdot 0,9+0,35\cdot 0,8+0,25\cdot 0,7=0,815.$$

По формуле Байеса найдем:

$$P(H_{2} /A)=\frac{P(H_{2} )\cdot P(A/H_{2} )}{P(H_{1} )\cdot P(A/H_{1} )+P(H_{2} )\cdot P(A/H_{2} )+P(H_{3} )\cdot P(A/H_{3} )} =$$ $$=\frac{0,35\cdot 0,8}{0,815} =0,344.$$