Понятие системы нескольких случайных величин

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие n-мерной случайной величины

Самый простой и дольно понятный случай -- это случай с использованием одной случайной величины $X$ . Такая случайная величина называется одномерной случайной величиной. Помимо таких величин рассматриваются также величины, которые определяются двумя, тремя или $n$ значениями. Такие величины называются, соответственно, двумерными, трехмерными $, ... ,$ $n-$ мерными случайными величинами. При этом каждое из значений называют составляющей случайной величины.

Определение 1

$n-$ мерная случайная величина называется дискретной, если все её составляющие являются дискретными случайными величинами.

Определение 2

$n-$ мерная случайная величина называется непрерывной, если все её составляющие являются непрерывными случайными величинами.

Понятие системы случайных величин

Определение 3

Составляющие $n-$ мерной случайной величины, рассматриваемые вместе, называется системой $n$ случайных величин.

В дальнейшем, чаще всего, мы будем рассматривать систему двух случайных величин и обозначать её $(X,\ Y)$ .

Определение 4

Случайная величина называется двумерной, если она определяется двумя числами.

Определение 5

Составляющие двумерной случайной величины, рассматриваемые вместе, называется системой двух случайных величин.

Законы распределения двумерной случайной величины

Определение 6

Законом распределения двумерной случайной величины $(X,Y)$ - называется множество возможных пар чисел $(x_i,\ y_j)$ (где $x_i \epsilon X,\ y_j \epsilon Y$ ) и их вероятностей $p_{ij}$ .

«Понятие системы нескольких случайных величин» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Существуют три основных вида законов распределения случайной величины. Самый простой из них -- запись виде таблицы, где в первом столбце и строке значения случайных величин, а в остальных вероятности, связывающие их.

Ведем еще два вида законов распределения двумерной случайной величины.

Определение 7

Интегральной функцией распределения для двумерной случайной величины $(X,Y)$ называется функция $F\left(x,y\right)$ удовлетворяющая равенству

\[F\left(x,y\right)=P(X

Определение 8

Функцией плотности распределения для двумерной случайной величины называется функция $\varphi (x,y)$ , связанная с интегральной функцией распределения $F\left(x,y\right)$ соотношением

$F\left(x,y\right)=\int\limits^x_{-\infty }{\int\limits^y_{-\infty }{\varphi \left(t,z\right)dtdz}}$

Вероятность попадания двумерной случайной величины в заданную область

Введем теперь две основные формулы для нахождения вероятности попадания двумерной случайной величины $(X,Y)$ в область $D$ .

Нахождение вероятности попадания двумерной случайной величины в заданную прямоугольную область с помощью интегральной функции распределения.

\[P\left(x_1

Нахождение вероятности попадания двумерной случайной величины в заданную область

$D$ с помощью функции плотности распределения.

$P\left(\left(X,Y\right)\in D\right)=\iint\limits_{(D)}{\varphi \left(x,y\right)dxdy}$

Причем, если $D$ -- прямоугольник, то

$P\left(\left(X,Y\right)\in D\right)=\int\limits^{x_2}_{x_1}{\int\limits^{y_2}_{y_1}{\varphi \left(x,y\right)dxdy}}$

Примеры задач

Пример 1

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равняется $0,3$ . Найти вероятность попадания такой случайной величины в прямоугольную область $ABCD$ с координатами вершин $A(0,0)$ , $B=(0,2)$ , $C=\left(1,2\right),\ D(1,0)$ .

Решение.

Составим сначала закон распределения данной случайной величины. Пусть $X$ число попаданий в мишень, а $Y$ - число промахов в мишень. Вероятность промаха равна $1-0,3=0,7$ . Из этого всего получаем следующий закон распределения случайной величины $(X,Y)$ :

Рисунок 1.

Из полученного закона, очевидно, что функция распределения имеет вид:

Рисунок 2.

Так как $D$ - прямоугольник, то для нахождения вероятности попадания случайной величины в этот прямоугольник будем искать по формуле

\[P\left(x_1Получим: \[P\left(0Ответ: 0,4.

Пример 2

Распределение двумерной случайной величины задано функцией плотности распределения, имеющей вид

$\varphi \left(x,y\right)=\frac{2}{{\pi }^2\left(4+x^2\right)(1+y^2)}$

Найти вероятность попадания такой случайной величины область $D$ , ограниченную прямыми $x=0,\ x=2,\ y=0,\ y=1$ .

Решение:

Так как нам задана плотность распределения двумерной случайной величины и область $D$ -- прямоугольник, то воспользуемся следующей формулой для вычисления вероятности попадания данной величины в область $D$

$P\left(\left(X,Y\right)\in D\right)=\int\limits^{x_2}_{x_1}{\int\limits^{y_2}_{y_1}{\varphi \left(x,y\right)dxdy}}$

$P\left(\left(X,Y\right)\in D\right)=\int\limits^2_0{\int\limits^1_0{\frac{2}{{\pi }^2\left(4+x^2\right)(1+y^2)}dxdy}}=\frac{2}{{\pi }^2}\int\limits^2_0{\int\limits^1_0{\frac{dxdy}{\left(4+x^2\right)(1+y^2)}}}=$

$=\frac{2}{{\pi }^2}\int\limits^2_0{\frac{dx}{4+x^2}}\int\limits^1_0{\frac{dy}{1+y^2}}=\frac{2}{{\pi }^2}\int\limits^2_0{\frac{dx}{4+x^2}}\cdot {\left.\left(arctgy\right)\right|}^1_0=$

$=\frac{2}{{\pi }^2}\left(\frac{\pi }{4}+0\right)\int\limits^2_0{\frac{dx}{4+x^2}}=\frac{1}{2\pi }{\left.\left(\frac{1}{2}arctg\frac{x}{2}\right)\right|}^2_0=\frac{1}{4\pi }\left(\frac{\pi }{4}+0\right)=\frac{1}{16}$

$P\left(\left(X,Y\right)\in D\right)=0,0625$

Ответ: $0,0625$ .

Дата последнего обновления статьи: 24.02.2025