Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Необходимый признак сходимости рядов

Теорема 1 (необходимый признак сходимости рядов)

Пусть ряд

a1+ a2++an+=n=1an

сходится, тогда его общий член an стремится к 0 (при n) limnan=0

(обратное не всегда верно).

Доказательство

Так как ряд n=1an сходится и его сумма равна S, то для его частичных сумм Sn,Sn1 имеют место равенства

an=SnSn1;limnan=limnSnlimnSn1=SS=0.

Что и требовалось доказать.

Условие сходимости, сформулированное в теореме 1, является необходимым, но не достаточным, т.е. при выполнении условия an0 ряд может расходиться. Рассмотрим пример такого ряда: n=11n, где 1n=an ? общий член ряда. Тогда limnan==limn1n=0. Частичная сумма ряда имеет вид Sn=1+12+13+...+1n. Очевидно, каждый член этой суммы 1n, тогда оценка Sn даёт неравенство:

Sn(1n+1n+1n+...+1n)=nn=n,

следовательно, limnSnlimnn=, т.е. исходный ряд расходится, хотя an=1n0.

Следствие из теоремы 1

Если общий член ряда аn (при n) не стремится к 0, то ряд n=1anрасходится (достаточный признак расходимости ряда).

Пример 1

Исследовать на сходимость ряд n=12n12n=12+34+56+....

Решение. Обозначим общий член ряда 2n12n=an. Так как limnan=limn2n12n=limn(112n)=10, то из следствия теоремы 1 следует, что ряд расходится.

Пример 2

Исследовать на сходимость ряд n=11n=1+12+13+...+1n+...

Решение. Общий член ряда имеет вид an=1n. Данный ряд называется гармоническим, так как каждый его член равен среднему гармоническому двух соседних: 1an=12(1an1+1an+1). Очевидно неравенство: 1n+1+1n+2++12n>12n+12n+...+12nn=n12n=12. Члены гармонического ряда, начиная с третьего, объединим в группы по 2, 4, 8, 16, , 2k1 членов в каждой группе. Очевидно, сумма каждой группы можно оценить следующим образом: 13+14>12; 15+16+17+18>12; 19+110+...+116>12..., т.е. каждая из этих сумм в отдельности больше 12. Таким образом, для частичных сумм с номерами n=2k,k=2,3,... выполняются неравенства: S4=1+12+13+14>1+12+12=1+212,S8=1+12+13+14+15+16+17+18>1+12+12+12=1+312, ,S2k>1+k12=2+k2,т.е. частичные суммы гармонического ряда неограниченно растут с увеличением n=2k при k, значит, limkS2k=. Получаем, что гармонический ряд n=11n расходится.

«Необходимый признак сходимости рядов» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
Пример 3

Исследовать на сходимость ряд

n=13n+22n1

Решение. Обозначим общий член ряда 3n+22n1=an. Так как

limnan=limn3n+22n1=320,

то из следствия теоремы 1следует, что ряд расходится.

Пример 4

Исследовать на сходимость ряд

n=1(1+1n)n

Решение. Обозначим общий член ряда (1+1n)n=an. Так как

limnan=limn(1+1n)n=e0

то из следствия теоремы 1 следует, что ряд расходится.

Пример 5

Исследовать сходимость ряда

1+12+13+...+1n+...

Решение. an=1n;limnan=limn1n=0;Sn=1+12+13+...+1n>1n+1n+...+

+1n=n1n=n=σn.

Здесь мы каждый член частичной суммы Sn заменили на меньший из всех, равный 1n.

Частичная сумма Sn больше, чем сумма σn этих слагаемых. limnσn=limnn=.Следовательно, limnSn=. Ряд расходится. Этот пример иллюстрирует тот факт, что хотя an0 при n, но ряд расходится.

Пример 6

Исследовать сходимость ряда:

1+23+35+...+n2n1+...

Решение. Ищем предел общего члена ряда anпри n. an=n2n1.limnan=limnn2n1=12.

limnan0, следовательно ряд расходится.

Этот пример иллюстрирует тот факт, что несоблюдение необходимого признака сходимости (limnan0) достаточно для доказательства расходимости ряда.

Дата последнего обновления статьи: 05.02.2025
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Необходимый признак сходимости рядов"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant