Пусть ряд
\[a_1+\ a_2+\dots {+a}_n+\dots =\sum\limits^{\infty }_{n=1}{a_n}\]сходится, тогда его общий член $a_n$ стремится к 0 (при $n\to \infty $) $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =0$
(обратное не всегда верно).
Так как ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $ сходится и его сумма равна S, то для его частичных сумм $S_{n} ,\, \, S_{n-1} $ имеют место равенства
\[a_{n} =S_{n} -S_{n-1} ; \mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} -\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n-1} =S-S=0.\]Что и требовалось доказать.
Условие сходимости, сформулированное в теореме 1, является необходимым, но не достаточным, т.е. при выполнении условия $a_{n} \to 0$ ряд может расходиться. Рассмотрим пример такого ряда: $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{\sqrt{n} } $, где $\frac{1}{\sqrt{n} } =a_{n} $ ? общий член ряда. Тогда $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =$$=\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{1}{\sqrt{n} } =0$. Частичная сумма ряда имеет вид $S_{n} =1+\frac{1}{\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{3} } +...+\frac{1}{\sqrt{n} } $. Очевидно, каждый член этой суммы $\ge \frac{1}{\sqrt{n} } $, тогда оценка $S_{n} $ даёт неравенство:
\[S_{n} \ge \left(\frac{1}{\sqrt{n} } +\frac{1}{\sqrt{n} } +\frac{1}{\sqrt{n} } +...+\frac{1}{\sqrt{n} } \right)=\frac{n}{\sqrt{n} } =\sqrt{n\, } \to \infty ,\]следовательно, $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} \ge \mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt{n} =\infty $, т.е. исходный ряд расходится, хотя $a_{n} =\frac{1}{\sqrt{n} } \to 0$.
Если общий член ряда аn (при $n\to \infty $) не стремится к 0, то ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }a_{n} $расходится (достаточный признак расходимости ряда).
Исследовать на сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{2n-1}{2n} =\frac{1}{2} +\frac{3}{4} +\frac{5}{6} +...$.
Решение. Обозначим общий член ряда $\frac{2n-1}{2n} =a_{n} $. Так как $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{2n-1}{2n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left(1-\frac{1}{2n} \right)=1\ne 0$, то из следствия теоремы 1 следует, что ряд расходится.
Исследовать на сходимость ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n} =1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +...+\frac{1}{n} +...$
Решение. Общий член ряда имеет вид $a_{n} =\frac{1}{n} $. Данный ряд называется гармоническим, так как каждый его член равен среднему гармоническому двух соседних: $\frac{1}{a_{n} } =\frac{1}{2} \left(\frac{1}{a_{n-1} } +\frac{1}{a_{n+1} } \right)$. Очевидно неравенство: $\frac{1}{n+1} +\frac{1}{n+2} +\ldots +\frac{1}{2n} >\underbrace{\frac{1}{2n} +\frac{1}{2n} +...+\frac{1}{2n} }_{n} =n\cdot \frac{1}{2n} =\frac{1}{2} $. Члены гармонического ряда, начиная с третьего, объединим в группы по 2, 4, 8, 16, $\dots$ , 2k$-$1 членов в каждой группе. Очевидно, сумма каждой группы можно оценить следующим образом: $\frac{1}{3} +\frac{1}{4} >\frac{1}{2} $; $\frac{1}{5} +\frac{1}{6} +\frac{1}{7} +\frac{1}{8} >\frac{1}{2} $; $\frac{1}{9} +\frac{1}{10} +...+\frac{1}{16} >\frac{1}{2} \, \, \, ...$, т.е. каждая из этих сумм в отдельности больше $\frac{1}{2} $. Таким образом, для частичных сумм с номерами $n=2^{k} ,\, \, \, k=2,\, 3,\, ...$ выполняются неравенства: $S_{4} =1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{4} >1+\frac{1}{2} +\frac{1}{2} =1+2\cdot \frac{1}{2} $,$S_{8} =1+\frac{1}{2} +\underbrace{\frac{1}{3} +\frac{1}{4} \, }_{} +\, \underbrace{\frac{1}{5} +\frac{1}{6} +\frac{1}{7} +\frac{1}{8} }_{} >1+\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \, +\frac{1}{2} =1+3\cdot \frac{1}{2} $, $\dots$ ,$S_{2^{k} } >1+k\cdot \frac{1}{2} =\frac{2+k}{2} $,т.е. частичные суммы гармонического ряда неограниченно растут с увеличением $n=2^{k} \to \infty $ при $k\to \infty $, значит, $\mathop{\lim }\limits_{k\to \infty } S_{2^{k} } =\infty $. Получаем, что гармонический ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{1}{n} $ расходится.
Исследовать на сходимость ряд
\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{3n+2}{2n-1} \]Решение. Обозначим общий член ряда $\frac{3n+2}{2n-1} =a_{n} $. Так как
\[\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{3n+2}{2n-1} =\frac{3}{2} \ne 0,\]то из следствия теоремы 1следует, что ряд расходится.
Исследовать на сходимость ряд
\[\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \left(1+\frac{1}{n} \right) ^{n} \]Решение. Обозначим общий член ряда $\left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} =a_{n} $. Так как
\[\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} =e\ne 0\]то из следствия теоремы 1 следует, что ряд расходится.
Исследовать сходимость ряда
1+$\frac{1}{\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{3} } +...+\frac{1}{\sqrt{n} } +...$
Решение. $a_{n} =\frac{1}{\sqrt{n} } ;\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{1}{\sqrt{n} } =0;S_{n} =1+\frac{1}{\sqrt{2} } +\frac{1}{\sqrt{3} } +...+\frac{1}{\sqrt{n} } >\frac{1}{\sqrt{n} } +\frac{1}{\sqrt{n} } +...+$
\[+\frac{1}{\sqrt{n} } =n\frac{1}{\sqrt{n} } =\sqrt{n} =\sigma _{n} .\]Здесь мы каждый член частичной суммы $S_{n} $ заменили на меньший из всех, равный $\frac{1}{\sqrt{n} } .$
Частичная сумма $S_{n} $ больше, чем сумма $\sigma _{n} $ этих слагаемых. $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sigma _{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \sqrt{n} =\infty .$Следовательно, $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } S_{n} =\infty .$ Ряд расходится. Этот пример иллюстрирует тот факт, что хотя $a_{n} $$\mathop{\to }\limits_{} 0$ при $n\to \infty $, но ряд расходится.
Исследовать сходимость ряда:
1+$\frac{2}{3} +\frac{3}{5} +...+\frac{n}{2n-1} +...$
Решение. Ищем предел общего члена ряда $a_{n} $при n$\to \infty $. $a_{n} =\frac{n}{2n-1} .\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a{}_{n} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{n}{2n-1} =\frac{1}{2} .$
$\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} \ne 0$, следовательно ряд расходится.
Этот пример иллюстрирует тот факт, что несоблюдение необходимого признака сходимости ($\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } a_{n} \ne 0$) достаточно для доказательства расходимости ряда.
