Пусть ряд
a1+ a2+…+an+⋯=∞∑n=1anсходится, тогда его общий член an стремится к 0 (при n→∞) limn→∞an=0
(обратное не всегда верно).
Так как ряд ∞∑n=1an сходится и его сумма равна S, то для его частичных сумм Sn,Sn−1 имеют место равенства
an=Sn−Sn−1;limn→∞an=limn→∞Sn−limn→∞Sn−1=S−S=0.Что и требовалось доказать.
Условие сходимости, сформулированное в теореме 1, является необходимым, но не достаточным, т.е. при выполнении условия an→0 ряд может расходиться. Рассмотрим пример такого ряда: ∞∑n=11√n, где 1√n=an ? общий член ряда. Тогда limn→∞an==limn→∞1√n=0. Частичная сумма ряда имеет вид Sn=1+1√2+1√3+...+1√n. Очевидно, каждый член этой суммы ≥1√n, тогда оценка Sn даёт неравенство:
Sn≥(1√n+1√n+1√n+...+1√n)=n√n=√n→∞,следовательно, limn→∞Sn≥limn→∞√n=∞, т.е. исходный ряд расходится, хотя an=1√n→0.
Если общий член ряда аn (при n→∞) не стремится к 0, то ряд ∞∑n=1anрасходится (достаточный признак расходимости ряда).
Исследовать на сходимость ряд ∞∑n=12n−12n=12+34+56+....
Решение. Обозначим общий член ряда 2n−12n=an. Так как limn→∞an=limn→∞2n−12n=limn→∞(1−12n)=1≠0, то из следствия теоремы 1 следует, что ряд расходится.
Исследовать на сходимость ряд ∞∑n=11n=1+12+13+...+1n+...
Решение. Общий член ряда имеет вид an=1n. Данный ряд называется гармоническим, так как каждый его член равен среднему гармоническому двух соседних: 1an=12(1an−1+1an+1). Очевидно неравенство: 1n+1+1n+2+…+12n>12n+12n+...+12n⏟n=n⋅12n=12. Члены гармонического ряда, начиная с третьего, объединим в группы по 2, 4, 8, 16, … , 2k−1 членов в каждой группе. Очевидно, сумма каждой группы можно оценить следующим образом: 13+14>12; 15+16+17+18>12; 19+110+...+116>12..., т.е. каждая из этих сумм в отдельности больше 12. Таким образом, для частичных сумм с номерами n=2k,k=2,3,... выполняются неравенства: S4=1+12+13+14>1+12+12=1+2⋅12,S8=1+12+13+14⏟+15+16+17+18⏟>1+12+12+12=1+3⋅12, … ,S2k>1+k⋅12=2+k2,т.е. частичные суммы гармонического ряда неограниченно растут с увеличением n=2k→∞ при k→∞, значит, limk→∞S2k=∞. Получаем, что гармонический ряд ∞∑n=11n расходится.
Исследовать на сходимость ряд
∞∑n=13n+22n−1Решение. Обозначим общий член ряда 3n+22n−1=an. Так как
limn→∞an=limn→∞3n+22n−1=32≠0,то из следствия теоремы 1следует, что ряд расходится.
Исследовать на сходимость ряд
∞∑n=1(1+1n)nРешение. Обозначим общий член ряда (1+1n)n=an. Так как
limn→∞an=limn→∞(1+1n)n=e≠0то из следствия теоремы 1 следует, что ряд расходится.
Исследовать сходимость ряда
1+1√2+1√3+...+1√n+...
Решение. an=1√n;limn→∞an=limn→∞1√n=0;Sn=1+1√2+1√3+...+1√n>1√n+1√n+...+
+1√n=n1√n=√n=σn.Здесь мы каждый член частичной суммы Sn заменили на меньший из всех, равный 1√n.
Частичная сумма Sn больше, чем сумма σn этих слагаемых. limn→∞σn=limn→∞√n=∞.Следовательно, limn→∞Sn=∞. Ряд расходится. Этот пример иллюстрирует тот факт, что хотя an→0 при n→∞, но ряд расходится.
Исследовать сходимость ряда:
1+23+35+...+n2n−1+...
Решение. Ищем предел общего члена ряда anпри n→∞. an=n2n−1.limn→∞an=limn→∞n2n−1=12.
limn→∞an≠0, следовательно ряд расходится.
Этот пример иллюстрирует тот факт, что несоблюдение необходимого признака сходимости (limn→∞an≠0) достаточно для доказательства расходимости ряда.