Неравенства с переменными
Если в любом выражении неравенства присутствует переменная, то такое неравенство называется неравенством с переменными.
Количество переменных в неравенстве определяет его тип по их числу: неравенство с одной, двумя, тремя и т.д. переменными.
Неравенства с одной переменной
Неравенство с одной переменной – неравенство, в записи которого присутствует одна переменная.
$y
$x^2-15
Переменная в записи неравенства может использоваться больше одного раза.
$\frac{x^7}{3}+\frac{8}{x^4}
Неравенства с двумя переменными
Неравенство с двумя переменными – неравенство, в записи которого содержится две разные переменные.
$\frac{4(a+3b)}{\sqrt{a}-b} > 1+\frac{a^2}{b-5}$ – неравенство с двумя переменными $a$ и $b$.
Подобным образом можно дать определение неравенствам с тремя, четырьмя и более переменными.
Решение неравенств
Решение неравенства с одной переменной представляет собой значение переменной, при котором исходное неравенство обращается в правильное числовое неравенство.
Определить, является ли $a=11$ и $a=7$ решениями неравенства $a^2>100$.
Решение.
Подставим значение переменной $a=11$ в исходное неравенство вместо переменной $а$.
Получим числовое неравенство $121>100$ – правильное числовое неравенство. Таким образом, $11$ согласно определению и есть решение неравенства $a^2>100$.
Подставим значение переменной $a=7$ в исходное неравенство вместо переменной $а$.
Получим числовое неравенство $49>100$ – неправильное числовое неравенство. Таким образом, $7$ согласно определению не будет решением неравенства $a^2>100$.
При нахождении решений неравенства с одной переменной можно получить четыре возможных случая:
- Неравенство не имеет решений.
- Неравенство имеет единственное решение.
- Неравенство имеет конечное количество решений.
- Неравенство имеет бесконечное количество решений.
- Неравенство $a^4
- Неравенство $\sqrt{x+13} \le 0$ имеет единственное решение $x=-13$, т.к. арифметический корень меньше нуля быть не может по определению.
- Неравенство $|y^2-9| \le 0$ имеет конечное количество решений, т.е. таких решений два: $y=-3$ и $y=3$.
- Неравенство $a
Решение неравенства с двумя переменными – пара значений данных переменных, которые обращают исходное неравенство в правильное числовое неравенство.
Рассмотрим неравенство с двумя переменными $a$ и $b$:
$a+5
Пара значений переменных $a=2$, $b=20$ – решение данного неравенства, т.к., подставив их значения в неравенство, получим правильное числовое неравенство $2+5
Пара значений переменных $а=5$, $y=8$ не является решением данного неравенства, т.к., подставив их значения в неравенство, получим неправильное числовое неравенство $5+5
Пары значений переменных принято записывать в скобках наподобие координат точек в декартовой системе координат. Для вышерассмотренного примера решением неравенства $a+5
Частное и общее решение неравенства
Частным решением неравенства является одно из решений данного неравенства.
$x=8$ – одно из частных решений неравенства $2+x>3$. Другими частными решениями данного неравенства будут значения $x=2$, $х=7,8$ и т.д.
Общее решение неравенства – множество всех возможных частных решений данного неравенства.
Общим решением неравенства $2,1+x>3$ будет множество всех действительных чисел, больших $0,9$.
