Производная tg x

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Производная $\tan x$

Определение 1

Производная $\tan x$ :

$(\tan x)'=\frac{1}{\cos^2x}=\cos{-2}x$

Эту формулу можно вывести по определению производной.

Примеры решения (определения производных)

Пример 1

Найдём первую и вторую производные функции $y=\tan^6 6x$ .

Эта функция состоит из трёх составляющих:

$y=u^6;$
$u=\tan v;$
$v=6x$ .

Применяем:

$y'=(\tan^5 6x)'=6u^5\cdot\frac{1}{\cos^2 v}\cdot 6=6\tan^5 6x\cdot\frac{1}{cos^2 6x}\cdot 6=36\cdot\tan^5 6x\cdot\cos^{-2}6x.$

$y''=(36\cdot\tan^5 6x\cdot\cos^{-2}6x)'=36\cdot((\tan^5 6x)'\cdot\cos^{-2}6x+\tan^5 6x\cdot(\cos^{-2}6x)')=36\cdot(5\cdot\tan^4 6x\cdot\frac{1}{\cos^2 6x}\cdot6\cdot\cos^{-2}6x+\tan^5 6x\cdot(-2\cos^{-3}6x)\cdot(-\sin 6x)\cdot 6)=1080\cdot\tan^4 6x\cdot\cos^{-4}6x+432\cdot\tan^5 6x\cdot\cos^{-3}6x\cdot\sin6x.$

Пример 2

$y=(\sin 6x)^{\tan 7x}.$

$y'=((\sin 6x)^{\tan 7x})'=\tan 7x\cdot(\sin 6x)^{\tan 7x-1}\cdot(\sin 6x)'+(\sin 6x)^{\tan 7x}\cdot\ln\sin 6x\cdot(\tan 7x)'=\tan 7x\cdot(\sin 6x)^{\tan 7x-1}\cdot\cos 6x\cdot 6+(\sin 6x)^{\tan 7x}\cdot\ln\sin 6x\cdot\frac{1}{\cos^2 7x}\cdot 7.$