Для того чтобы высчитать, чему равна производная от натурального логарифма х (записывается как lnx, произносится как «лн икс»), вспомним, чем же он является.
Натуральный логарифм — это логарифм числа по основанию е, оно равно приблизительно $2,72$ и является иррациональным, применяемым во многих вычислениях.
Найдём для начала производную для логарифма с любым основанием:
$\frac{Δx}{Δy}=\frac{\log_a(x+Δx) – log_ax}{Δx}=\frac{1}{x} \cdot \frac{log_a(1+\frac{Δx}{x})}{\frac{Δx}{x}}$
Вспомним, чему равен предел функции $y=\log_a x$ при $\frac{Δx}{x} \to 0$:
$\lim_{\frac{Δx}{x} \to 0} \frac{\log_a(1+\frac{Δx}{x})}{\frac{Δx}{x}}=\log_a e$;
Подставим это выражение в полученное нами выше, в результате имеем:
$(\log_a x)’=\frac{log_ae}{x}$.
В случае с натуральным логарифмом ln x числитель обращается в единицу, следовательно, формула производной для него выглядит так:
$(\ln x)’=\frac1x$.
Найти производные, применив закономерности дифференцирования сложных функций:
$\frac{\ln x}{7}$;
$\ln10x$.
Решение:
$(\frac{\ln x}{7})=\frac17 \cdot (\ln x)’=\frac{1}{7x}$;
$\ln10x=\frac{1}{10x} \cdot (10x)’=\frac{1}{x}$.
