Для того чтобы высчитать, чему равна производная от натурального логарифма х (записывается как lnx, произносится как «лн икс»), вспомним, чем же он является.
Натуральный логарифм — это логарифм числа по основанию е, оно равно приблизительно 2,72 и является иррациональным, применяемым во многих вычислениях.
Найдём для начала производную для логарифма с любым основанием:
ΔxΔy=loga(x+Δx)–logaxΔx=1x⋅loga(1+Δxx)Δxx
Вспомним, чему равен предел функции y=logax при Δxx→0:
limΔxx→0loga(1+Δxx)Δxx=logae;
Подставим это выражение в полученное нами выше, в результате имеем:
(logax)′=logaex.
В случае с натуральным логарифмом ln x числитель обращается в единицу, следовательно, формула производной для него выглядит так:
(lnx)′=1x.
Найти производные, применив закономерности дифференцирования сложных функций:
lnx7;
ln10x.
Решение:
(lnx7)=17⋅(lnx)′=17x;
ln10x=110x⋅(10x)′=1x.