Суть и понятие производной
Производная является одним из ключевых понятий математического анализа. Производные используются в решении различных математических и специальных задачах. Поэтому важно корректно и своевременно усвоить это понятие.
Необходимость в производной возникла, когда проводились вычисления скорости и ускорения движущегося тела. Из курса физики известно, что средняя скорость вычисляется по формуле $v_{ср}=\frac{s}{t}$, где s - это весь путь, а t - промежуток времени, за которой пройден весь путь. Очевидно, что величина $v_{ср}$ не показывает, как движение изменялось в разных промежутках времени. Для вычисления мгновенной скорости, ввели понятие предела. Чтобы вычислить среднюю скорость изменения функции за всё время движения применяют понятие производной.
Дадим определение производной. Напомним, что в $y=f(x)$, $ x$ - это свободная переменная, называемая аргументом, а $y$ - зависимая переменная, называемая функцией.
Производная функции $y=f(x_0)$ в т. $(x_0)$ равна пределу отношения приращения функции в т. $(x_0)$ к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.
Производную записывают как: $y', f'(x_0), \frac {dy}{dx}$. Все эти обозначения используются в разных разделах математической теории.
Понятие производной: $y'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$.
Разберёмся с определением производной, а именно, как с её помощью вычисляется средняя скорость изменения функции за всё время движения.
$\Delta y$ (приращение функции) означает выбранную часть пути.
$\Delta x$, то есть приращение аргумента, означает всё время общего пути (от $x_0$ до $x_0+\Delta x$). Не будет ошибкой в рамках курса физики вместо $x$ записывать $t$, что привычнее при обозначении времени.
Нахождение производной от арктангенс x
Формула производной элементарной функции $\arctan x$ : $(\arctan x)' = \frac{1}{1+x^2}$
Рассмотрим пример решения производной функции с арктангенс x.
Требуется найти $y'$ функции $y=\arcsin x+\arccos x+\arctan x$.
Решение. Для нахождения этой производной необходимо вспомнить некоторые основные формулы:
$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$;
$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
Приступаем к подстановке.
$y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{1+x^2}$.
Мы нашли производную заданной функции.
Таким образом, мы разобрались с понятием производной и нахождением производной от $\arctan x$.
