Производная от arctg x

Суть и понятие производной

Производная является одним из ключевых понятий математического анализа. Производные используются в решении различных математических и специальных задачах. Поэтому важно корректно и своевременно усвоить это понятие.

Необходимость в производной возникла, когда проводились вычисления скорости и ускорения движущегося тела. Из курса физики известно, что средняя скорость вычисляется по формуле $v_{ср}=\frac{s}{t}$, где s - это весь путь, а t - промежуток времени, за которой пройден весь путь. Очевидно, что величина $v_{ср}$ не показывает, как движение изменялось в разных промежутках времени. Для вычисления мгновенной скорости, ввели понятие предела. Чтобы вычислить среднюю скорость изменения функции за всё время движения применяют понятие производной.

Дадим определение производной. Напомним, что в $y=f(x)$, $x$ - это свободная переменная, называемая аргументом, а $y$ - зависимая переменная, называемая функцией.

Производную записывают как: $y', f'(x_0), \frac {dy}{dx}$. Все эти обозначения используются в разных разделах математической теории.

Понятие производной: $y'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$.

Разберёмся с определением производной, а именно, как с её помощью вычисляется средняя скорость изменения функции за всё время движения.

$\Delta y$ (приращение функции) означает выбранную часть пути.

$\Delta x$, то есть приращение аргумента, означает всё время общего пути (от $x_0$ до $x_0+\Delta x$). Не будет ошибкой в рамках курса физики вместо $x$ записывать $t$, что привычнее при обозначении времени.

Нахождение производной от арктангенс x

Рассмотрим пример решения производной функции с арктангенс x.

Таким образом, мы разобрались с понятием производной и нахождением производной от $\arctan x$.