Решение задач на геометрический смысл производной

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Напомним сначала, что такое производная.

Определение 1

Если существует конечный предел отношения приращения функции $f(x)$ в точке $x_0$ к приращению аргумента $\triangle x$ , при $\triangle x\to 0$ , то он называется производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ .

${\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{f\left(x_0+\triangle x\right)-f\left(x_0\right)}{\triangle x}\ }={\mathop{lim}_{\triangle x\to 0} \frac{\triangle y}{\triangle x}\ }$

Рассмотрим теперь геометрический смысл понятия производной (рис. 1).

Пусть функция $f(x)$ дифференцируема в точке $x_0\in X$ . Рассмотрим точку $M_0(x_0,f\left(x_0\right))\in f(x)$ . Придадим $x_0$ приращение $\triangle x$ , получим точку

$M(x_0+\triangle x,f\left(x_0+\triangle x\right))\in f(x)$ . Мы видим, что

То есть $\left|MN\right|$ - приращение данной функции. Очевидно, что $\frac{\triangle y}{\triangle x}=tg\alpha$

Где $\alpha$ - угол наклона касательной к графику функции $f(x)$ в точке $M_0$ . Таким образом, получаем

Определение 2

Геометрический смысл производной представляет собой угловой коэффициент касательной функции $f(x)$ в точке $x_0$ . Иначе - это тангенс угла наклона касательной к графику данной функции.

Решение задач на геометрический смысл производной

Пример 1

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$ . Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$ .

Рисунок 2.

Решение.

Так как по геометрическому смыслу производной $f'\left(x_0\right)=tg\alpha$ , то нам нужно найти тангенс угла наклона касательной. Рассмотрим рисунок:

Рисунок 3.

Так как тангенс, по определению, отношение противолежащего катета прямоугольного треугольника к прилежащему, то получаем $f'\left(x_0\right)=tg\alpha =\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$ .

Пример 2

Рисунок 4.

Решение.

Рисунок 5.

Здесь нужно также отметить, что, на самом деле, угол между касательной и направлением оси $Ox$ - тупой, следовательно, нам необходимо принять производную со знаком «минус». Получаем: $f'\left(x_0\right)=-tg\alpha =-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$