Правила вычисления дифференциалов

Выполнить дифференцирование функции.

$$d(4)$$

Решение.

По правилу дифференцирования, дифференциал числа равен 0.

$$d(4)=0$$

Выполнить дифференцирование функции.

$$d(e^{2} )$$

Решение.

По правилу дифференцирования, дифференциал константы равен 0.

$$d(e^{2} )=0$$

Найти дифференциал функции.

$$d(\ln x-2^{x} )$$

Решение.

По правилу дифференцирования, дифференциал разности равен разности дифференциалов функций.

$$d(\ln x-2^{x} )=d(\ln x)-d(2^{x} )$$

Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала

$$d(\ln x-2^{x} )=\frac{1}{x} dx-2^{x} \ln 2dx$$

Найти дифференциал функции.

$$d(4x^{2} +5)$$

Решение.

По правилу дифференцирования, дифференциал суммы равен сумме дифференциалов функций.

$$d(4x^{2} +5)=d(4x^{2} )+d(5)$$

Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала. Производная второй функции так же, как и дифференциал, равна 0.

$$d(4x^{2} +5)=8xdx$$

Найти дифференциал функции.

$$d(e^{x} \cos x)$$

Решение.

По правилу дифференцирования:

$$d(e^{x} \cos x)=d(e^{x} )\cos x+e^{x} d(\cos x)$$

Найдем производные данных функций и добавим к ним знак дифференциала.

$$d(e^{x} \cos x)=e^{x} dx\cdot \cos x-e^{x} \sin xdx$$

Найти дифференциал функции.

$$d(18shx)$$

Решение.

Вынесем числовой множитель за знаки дифференциала

$$d(18shx)=18d(shx)$$

Найдем производную функции и добавим знак дифференциала.

$$d(18shx)=18chxdx$$

Найти дифференциал функции.

$$d(\frac{\arccos x}{5x} )$$

Решение.

Вынесем числовой множитель за знаки дифференциала

$$d(\frac{\arccos x}{5x} )=\frac{1}{5} d(\frac{\arccos x}{x} )$$

По формуле частного найдем дифференциал

$$d\left(\frac{u}{v} \right)=\frac{vdu-udv}{v^{2} }$$ $$d\left(\frac{\arccos x}{x} \right)=\frac{xd\left(\arccos x\right)-\arccos xdE}{E^{2} }$$ $$d\left(\frac{\arccos x}{x} \right)=\frac{\frac{-xdx}{\sqrt{1-x^{2} } } -\arccos xdE}{E^{2} } =-\frac{\frac{dx}{\sqrt{1-x^{2} } } +\arccos dE}{E}$$

Найти дифференциал функции.

$$y=x^{2} e^{x}$$

Решение.

По формуле произведения найдем дифференциал

$$dy=x^{2} d\left(e^{x} \right)+e^{x} d\left(x^{2} \right)$$ $$dy=x^{2} e^{x} xdx+e^{x} 2xdx$$

Упростим

$$dy=x^{2} e^{x} xdx+e^{x} 2xdx=x^{2} e^{x} (x+2)dx$$