Геометрическое применение производной

Написать уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой $x_0=1$:

Решение.

1. Найдем значение функции в точке:
$$y_{0} =3\cdot 1^{2} -2\cdot 1+11=12$$
2. Найдем производную в данной точке:
$$y'(x_{0} )=\left(3x^{2} -2x+11\right){{'} } =6x-2$$ $$y'(1)=6\cdot 1-2=4$$
3. Запишем уравнение касательной:
$$y-y_{0} =y`(x_{0} )(x-x_{0} )$$ $$y-12=4(x-1)$$ $$y-4x-8=0$$
4. Запишем уравнение нормали:
$$y-12=-\frac{1}{4} (x-1)$$ $$4y+x-49=0$$

Найти тангенс угла между кривыми, в точке имеющей большую абсциссу.

Решение.

1. Для того чтобы определить точки пересечения кривых необходимо решить систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{l} {y=2x^{2} -3} \\ {y=4x-2} \end{array}\right.$$ $$2x^{2} -3=4x-2$$ $$2x^{2} -4x=1$$ $$2x(x-2)=1$$

Значит, кривые пересекаются в точках 0,5 и 2. Максимальной, из которых, является точка x = 2.

2. Найдем производные в найденной точке
$$y_{1} {{'} } =\left(2x^{2} -3\right){{'} } =4x$$ $$y_{2} {{'} } =\left(4x-2\right){{'} } =4$$ $$y_{1} {{'} } =4\cdot 2=8$$ $$y_{2} {{'} } =4$$
3. Запишем уравнение тангенса угла и подставим все известные значения
$$tg\gamma =\frac{4-8}{1+8\cdot 4} =\frac{-4}{33}$$

Найти длину подкасательной и поднормали для эллипса x = acost, y = bsint

Рисунок 2. Эллипс

Решение.

1. Уравнение касательной имеет вид:
$$y-\frac{b}{\sqrt{2} } =-\frac{b}{a} (x-\frac{a}{\sqrt{2} } )$$
2. Уравнение нормали имеет вид:
$$y-\frac{b}{\sqrt{2} } =\frac{a}{b} (x-\frac{a}{\sqrt{2} } )$$
3. Длины подкасательной и поднормали:
$$S_{T} =\left|\frac{\frac{b}{\sqrt{2} } }{-\frac{b}{a} } \right|=\frac{a}{\sqrt{2} }$$ $$S_{N} =\left|\frac{b}{\sqrt{2} } \left(-\frac{b}{a} \right)\right|=\frac{b^{2} }{a\sqrt{2} }$$