Многочлен Тейлора и остаточный член
Пусть задана функция f(x), которая некоторое число раз дифференцируется в точке x0. Найдем многочлен n-й степени вида
Для которого выполняются равенства
Для того, чтобы вычислить коэффициенты многочлена, найдем его производные и рассчитаем их значения в точке х0.
Таким образом, коэффициенты имеют вид:
А многочлен называемый многочленом Тейлора:
Разность между функцией и многочленом носит название остаточного члена.
Формула Тейлора
Формула Тейлора в общем виде:
Формула Маклорена
Формула Маклорена это упрощенное представление формулы Тейлора при х0=0
Разложить в ряд Тейлора функцию в точке x0 = 1.
y(x)=x2+2x−3Решение.
- Найдем первую производную в точке 1 y′(x)=(x2+2x−3)′=2x+2
- Найдем вторую производную в точке 1 y″(x)=(2x+2)′=2
- Найдем третью производную y‴(x)=2′=0
- Таким образом y(n)(x)=0y(n)(1)=0
- Ряд Тейлора будет иметь вид y(x)=0+01!(x−2)+22!(x−2)3+43!(x−2)3+0+...
Разложить в ряд Маклорена функцию в точке а = 0.
y=e2xРешение.
- Найдем первую производную в точке 0 y′(x)=(e2x)′=2e2x
- Найдем вторую производную в точке 0 y″(x)=(2e2x)′=2⋅2e2x=4e2x
- Найдем третью производную y‴(x)=(4e2x)′=4⋅2e2x=8e2x
- Таким образом y(n)(x)=2ne2xy(n)(0)=2n
- Ряд Маклорена будет иметь вид y(x)=ekx=1+21!x+42!x2+83!x3+...+2nn!xn
Разложить по степеням (х -- 1) функцию
y=2x3+x2−3x+5Решение.
- Найдем первую производную в точке 1 y′(x)=6x2+2x−3
- Найдем вторую производную в точке 1 y″(x)=(6x2+2x−3)′=12x+2
- Найдем третью производную в точке 1 y‴(x)=(12x+2)′=12
- Найдем 4 производную в точке 1 y(4)(x)=12′=0
- Распишем ряд Тейлора y(x)=5+01!(x−1)+122!(x−1)3+143!(x−1)3+54!(x−1)4
Значит производная функции равна нулю при n больше или равно числу 4.
y(1)=2+1−3+5=5