Формулы Маклорена и Тейлора

Разложить в ряд Тейлора функцию в точке x0 = 1.

Решение.

1. Найдем первую производную в точке 1
\[y'(x)=\left(x^{2} +2x-3\right)^{{'} } =2x+2\] \[y'(1)=2x+2=2\cdot 1+2=4\]
2. Найдем вторую производную в точке 1
\[y''(x)=\left(2x+2\right)^{{'} } =2\] \[y''(1)=2\]
3. Найдем третью производную
\[y'''(x)=2'=0\]
4. Таким образом
\[\begin{array}{l} {y^{(n)} (x)=0} \\ {y^{(n)} (1)=0} \end{array}\] \[y(1)=1^{2} +2\cdot 1-3=0\]
5. Ряд Тейлора будет иметь вид
\[y(x)=0+\frac{0}{1!} (x-2)+\frac{2}{2!} (x-2)^{3} +\frac{4}{3!} (x-2)^{3} +0+...\] \[=(x-2)+\frac{2}{3} (x-2)^{2} \]

Разложить в ряд Маклорена функцию в точке а = 0.

Решение.

1. Найдем первую производную в точке 0
\[y'(x)=\left(e^{2x} \right)^{{'} } =2e^{2x} \] \[y'(0)=2e^{2x} =2e^{2\cdot 0} =2\]
2. Найдем вторую производную в точке 0
\[y''(x)=\left(2e^{2x} \right)^{{'} } =2\cdot 2e^{2x} =4e^{2x} \] \[y''(0)=4e^{0} =4\]
3. Найдем третью производную
\[y'''(x)=\left(4e^{2x} \right)^{{'} } =4\cdot 2e^{2x} =8e^{2x} \] \[y'''(0)=8e^{0} =8\]
4. Таким образом
\[\begin{array}{l} {y^{(n)} (x)=2^{n} e^{2x} } \\ {y^{(n)} (0)=2^{n} } \end{array}\]
5. Ряд Маклорена будет иметь вид
\[y(x)=e^{kx} =1+\frac{2}{1!} x+\frac{4}{2!} x^{2} +\frac{8}{3!} x^{3} +...+\frac{2^{n} }{n!} x^{n} \]

Разложить по степеням (х -- 1) функцию

Решение.

1. Найдем первую производную в точке 1
\[y'(x)=6x^{2} +2x-3\] \[y'(1)=6\cdot 1+2\cdot 1-3=5\]
2. Найдем вторую производную в точке 1
\[y''(x)=\left(6x^{2} +2x-3\right)^{{'} } =12x+2\] \[y''(1)=12\cdot 1+2=14\]
3. Найдем третью производную в точке 1
\[y'''(x)=\left(12x+2\right)^{{'} } =12\] \[y'''(1)=12\]
4. Найдем 4 производную в точке 1
\[y^{(4)} (x)=12'=0\] \[y^{(4)} (0)=0\]

Значит производная функции равна нулю при n больше или равно числу 4.

\[y(1)=2+1-3+5=5\]
5. Распишем ряд Тейлора
\[y(x)=5+\frac{0}{1!} (x-1)+\frac{12}{2!} (x-1)^{3} +\frac{14}{3!} (x-1)^{3} +\frac{5}{4!} (x-1)^{4} \] \[y(x)=5+6(x-1)^{3} +\frac{7}{3} (x-1)^{3} +\frac{5}{24} (x-1)^{4} \]