Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Формулы Маклорена и Тейлора

Многочлен Тейлора и остаточный член

Пусть задана функция f(x), которая некоторое число раз дифференцируется в точке x0. Найдем многочлен n-й степени вида

Для которого выполняются равенства

Для того, чтобы вычислить коэффициенты многочлена, найдем его производные и рассчитаем их значения в точке х0.

Таким образом, коэффициенты имеют вид:

А многочлен называемый многочленом Тейлора:

Разность между функцией и многочленом носит название остаточного члена.

Формула Тейлора

Формула Тейлора в общем виде:

Формула Маклорена

Формула Маклорена это упрощенное представление формулы Тейлора при х0=0

Пример 1

Разложить в ряд Тейлора функцию в точке x0 = 1.

y(x)=x2+2x3

Решение.

  1. Найдем первую производную в точке 1
  2. y(x)=(x2+2x3)=2x+2
    y(1)=2x+2=21+2=4
  3. Найдем вторую производную в точке 1
  4. y(x)=(2x+2)=2
    y(1)=2
  5. Найдем третью производную
  6. y(x)=2=0
  7. Таким образом
  8. y(n)(x)=0y(n)(1)=0
    y(1)=12+213=0
  9. Ряд Тейлора будет иметь вид
  10. y(x)=0+01!(x2)+22!(x2)3+43!(x2)3+0+...
    =(x2)+23(x2)2
Пример 2

Разложить в ряд Маклорена функцию в точке а = 0.

y=e2x

Решение.

  1. Найдем первую производную в точке 0
  2. y(x)=(e2x)=2e2x
    y(0)=2e2x=2e20=2
  3. Найдем вторую производную в точке 0
  4. y(x)=(2e2x)=22e2x=4e2x
    y(0)=4e0=4
  5. Найдем третью производную
  6. y(x)=(4e2x)=42e2x=8e2x
    y(0)=8e0=8
  7. Таким образом
  8. y(n)(x)=2ne2xy(n)(0)=2n
  9. Ряд Маклорена будет иметь вид
  10. y(x)=ekx=1+21!x+42!x2+83!x3+...+2nn!xn
Пример 3

Разложить по степеням (х -- 1) функцию

y=2x3+x23x+5

Решение.

  1. Найдем первую производную в точке 1
  2. y(x)=6x2+2x3
    y(1)=61+213=5
  3. Найдем вторую производную в точке 1
  4. y(x)=(6x2+2x3)=12x+2
    y(1)=121+2=14
  5. Найдем третью производную в точке 1
  6. y(x)=(12x+2)=12
    y(1)=12
  7. Найдем 4 производную в точке 1
  8. y(4)(x)=12=0
    y(4)(0)=0

    Значит производная функции равна нулю при n больше или равно числу 4.

    y(1)=2+13+5=5
  9. Распишем ряд Тейлора
  10. y(x)=5+01!(x1)+122!(x1)3+143!(x1)3+54!(x1)4
    y(x)=5+6(x1)3+73(x1)3+524(x1)4
Дата последнего обновления статьи: 14.12.2024
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Формулы Маклорена и Тейлора"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant