Признак сходимости Даламбера
Изучение признака сходимости Даламбера входит в разделах о рядах в курсе математического анализа.
Будем считать, что читателю уже известно понятие последовательности. Итак, имеем последовательность $\{a_n\}$. Рассмотрим сумму её членов:
$a_1+a_2+...+a_n$ или $\sum_{k=1}^n a_n$. Рассмотрим также следующую сумму: $a_v+a_2+...+a_n$ или $\sum_{k=v}^n a_n$, где $v
Вычисление этих сумм в общем случае алгоритмически невозможно. В отдельных случаях используют специальные приёмы, которые в данной статье мы опустим. Перейдём к определению числового ряда.
Числовой ряд - это бесконечная сумма из бесконечной последовательности чисел:
$\sum_{n=1}^\infty w_n$.
Приведём понятие сходящегося числового ряда и расходящегося. Введём обозначение некоторой конечной суммы первых $n$ членов: $S_n=w_1,+w_2+w_3+...+w_n$. Такая сумма называется $n$-й частичной суммой ряда.
Числовой ряд сходящийся, если существует предел вида $S=\lim\limits_{n\to\infty} S_n$. Иначе ряд расходящийся.
В теории числовых рядом первым вопросом является вопрос о сходимости данного ряда. Если доказана сходимость, то следующий вопросом встаёт его сумма. Она вычисляется приближённо, с большим количеством членов в составе.
Существуют несколько признаков сходимости рядов с положительными членами:
- радикальный признак Коши;
- признак Даламбера.
В рамках данной статьи перейдём сразу ко второму признаку.
Пусть существует предел
Рисунок 1. Предел. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Если $D$ $1$, то ряд расходится.
Если $D=1$, то теорема не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.
$D\neq1$ если члены ряда убывают или растут достаточно быстро.
Примеры
Необходимо исследовать сходимость ряда
Рисунок 2. Ряд. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Общий член знакоположительного ряда:
Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
растёт с ростом $n$ достаточно быстро за счёт "показательного множителя" $5^n$. Возьмём $(n-1)$ вместо $n$.
Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Далее
Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Получилось $D$ > $1 \Rightarrow$ ряд расходится.
Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Так как в знаменателе $n!$, то дробь быстро убывает. Значит, наиболее эффективно рассмотреть признак Даламбера.
Рисунок 7. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 8. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$D$
Рисунок 9. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 10. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Ряд сходится.
Другие примеры исследования сходимости ряда производятся по аналогии.
