При подборе делителей чисел иногда проще использовать признаки делимости, чем выполнять деление целиком. Ниже мы сформируем признак делимости числа на 9.
Признак делимости на 9 — правило:
Натуральное число делится на 9 лишь в том случае, если делится на 9 сумма цифр, из которых оно состоит.
Докажем это для четырёхзначного числа.
Пусть $a$— цифра, обозначающая тысячи, $b$ — сотни, $c$ — десятки, а $d$ — единицы.
Запишем четырёхзначное число $n$ через эти обозначения:
$n=a \cdot 1000 + b \cdot 100 + 10 \cdot с + d$;
Каждый разряд кроме единиц запишем как сумму числа, которое делится на 9, и единицы:
$n= (999+ 1) a + (99+1)b + (9 + 1) c + d$;
$n=999a + 99b+9c + a + b + c + d $;
$n=9(111a + 11b+c) + (a+b+c+d)$.
В последнем равенстве 1-ое слагаемое в скобках делится на 9, что видно по вынесенному множителю. То есть, делится ли число на 9 зависит от того, делится ли на 9 сумма $(a+b+c+d)$.
Признаки деления на 9 для чисел с другим количеством разрядов выводятся аналогично.
Определите, делятся ли на 9 два следующих числа: $123456789; 2222225$.
Решение:
$123456789: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45$ — это число делится.
$2222225: 2+2+2+2+2+2+5=17$ — не делится.
