Длина дуги кривой

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Задача 1

Вычислить периметр плоской фигуры, ограниченной нижней частью графика параболы $y=0,75\cdot x^{2} -1,5\cdot x-2,25$ , а также прямыми $11\cdot x-6\cdot y+87=0$ и $x-y+17=0$ .

Строим графическое изображение фигуры:

Длина дуги кривой

Находим точки пересечения линий, ограничивающих фигуру:

точка пересечения прямых определяется уравнением $x+17=\frac{11\cdot x+87}{6}$ , откуда $x=3$ ;
точка пересечения прямой $11\cdot x-6\cdot y+87=0$ и параболы определяется уравнением $\frac{11\cdot x+87}{6} =0,75\cdot x^{2} -1,5\cdot x-2,25$ , откуда получаем $9\cdot x^{2} -40\cdot x-201=0$ , $x_{1} ={67\mathord{\left/ {\vphantom {67 9}} \right. } 9}$ и $x_{2} =-3$ ; нужным результатом является $x=-3$ ;
точка пересечения прямой $x-y+17=0$ и параболы определяется уравнением $x+17=0,75\cdot x^{2} -1,5\cdot x-2,25$ , откуда получаем $3\cdot x^{2} -10\cdot x-77=0$ , $x_{1} =-{11\mathord{\left/ {\vphantom {11 3}} \right. } 3}$ и $x_{2} =7$ ; нужным результатом является $x_{2} =7$ .

Известно, что если на некотором отрезке $\left[a,\; b\right]$ кривая задана уравнением $y=y\left(x\right)$ , то длина её дуги вычисляется с помощью определенного интеграла (ОИ) $L=\int \limits _{a}^{b}\sqrt{1+y'^{2} \left(x\right)} \cdot dx$ .

Для каждой линии вычисляем значение выражения $\sqrt{1+y'^{2} \left(x\right)}$ :

для прямой $11\cdot x-6\cdot y+87=0$ имеем $11-6\cdot y'=0$ , откуда $\sqrt{1+y'^{2} \left(x\right)} =\sqrt{1+\left(\frac{11}{6} \right)^{2} } =\sqrt{\frac{157}{36} } \approx 2,09$ ;
для прямой $x-y+17=0$ имеем $1-y'=0$ , откуда $\sqrt{1+y'^{2} \left(x\right)} =\sqrt{1+1^{2} } =\sqrt{2} \approx 1,41$ ;
для параболы $y=0,75\cdot x^{2} -1,5x-2,25$ имеем $y'=1,5\cdot x-1,5$ , откуда $\sqrt{1+y'^{2} \left(x\right)} =\sqrt{1+\left(1,5\cdot x-1,5\right)^{2} } =\sqrt{2,25\cdot x^{2} -4,5\cdot x+3,25}$ .

Для каждой линии определяем пределы интегрирования:

для прямой $11\cdot x-6\cdot y+87=0$ имеем $a=-3$ , $b=3$ ;
для прямой $x-y+17=0$ имеем $a=3$ , $b=7$ ;
для параболы $y=0,75\cdot x^{2} -1,5x-2,25$ имеем $a=-3$ , $b=7$ .

Находим длину прямой $11\cdot x-6\cdot y+87=0$ :

$L_{1} =\int \limits _{-3}^{3}2,09\cdot dx =2,09\cdot \left[x\right]_{-3}^{3} =2,09\cdot \left(3-\left(-3\right)\right)=2,09\cdot 6\approx 12,54.$

Находим длину прямой $x-y+17=0$ :

$L_{2} =\int \limits _{3}^{7}1,41\cdot dx =1,41\cdot \left[x\right]_{3}^{7} =1,41\cdot \left(7-3\right)=1,41\cdot 4\approx 5,64.$

Находим длину параболы:

$L_{3} =\int \limits _{-3}^{7}\sqrt{2,25\cdot x^{2} -4,5\cdot x+3,25} \cdot dx =\int \limits _{-3}^{7}\sqrt{2,25\cdot \left(x^{2} -2\cdot x+\frac{13}{9} \right)} \cdot dx =$

$=\sqrt{2,25} \cdot \int \limits _{-3}^{7}\sqrt{x^{2} -2\cdot x+\frac{13}{9} } \cdot dx =1,5\cdot \int \limits _{-3}^{7}\sqrt{\left(x-1\right)^{2} +\frac{4}{9} } \cdot dx =$

$=1,5\cdot \left[\frac{x-1}{2} \cdot \sqrt{\left(x-1\right)^{2} +\frac{4}{9} } +\frac{4}{18} \cdot \ln \left|x-1+\sqrt{\left(x-1\right)^{2} +\frac{4}{9} } \right|\right]_{-3}^{7} =$

$=1,5\cdot \left(3\cdot \sqrt{36+\frac{4}{9} } +\frac{4}{18} \cdot \ln \left|6+\sqrt{36+\frac{4}{9} } \right|\right)-$

$-1,5\cdot \left(-2\cdot \sqrt{16+\frac{4}{9} } +\frac{4}{18} \cdot \ln \left|-4+\sqrt{16+\frac{4}{9} } \right|\right)=$

$=1,5\cdot \left(3\cdot \sqrt{36,444} +0,22\cdot \ln \left|6+\sqrt{36,444} \right|\right)-$

$-1,5\cdot \left(-2\cdot \sqrt{16,444} +0,22\cdot \ln \left|-4+\sqrt{16,444} \right|\right)=$

$=1,5\cdot \left(3\cdot 6,037+0,22\cdot \ln 12,037\right)-1,5\cdot \left(-2\cdot 4,055+0,22\cdot \ln 0,055\right)=$

$=1,5\cdot \left(18,11+0,22\cdot 2,49\right)-1,5\cdot \left(-8,11+0,22\cdot \left(-2,90\right)\right)=$

$=1,5\cdot 18,66+1,5\cdot 8,75=41,12.$

Вычисляем периметр:

$L=L_{1} +L_{2} +L_{3} \approx 12,54+5,64+41,12\approx 59,30.$

Задача 2

Вычислить длину замкнутой кривой $\rho =2\cdot \sin ^{3} \frac{\phi }{3}$ .

Строим графическое изображение фигуры:

Длина дуги кривой

Кривая задана в полярных координатах. Цветом (синий, красный, фиолетовый) выделены три участка построения полного графика: от 0 до $\pi$ , от $\pi$ до 2• $\pi$ и от 2• $\pi$ до 3• $\pi$ .

Границы изменения угла $\varphi$ определяются неравенством $\rho \ge 0$ . Отсюда следует: $\sin \frac{\phi }{3} \ge 0$ ; $0\le \frac{\phi }{3} \le \pi$ ; $0\le \phi \le 3\cdot \pi$ .

График показывает, что при изменении угла $\phi$ от нуля до $\frac{3\cdot \pi }{2}$ длина радиус-вектора возрастает от нуля до двух. При этом конец радиус-вектора описывает левую часть дуги кривой. Когда угол $\phi$ меняется от $\frac{3\cdot \pi }{2}$ до $3\cdot \pi$ , длина радиус-вектора убывает от двух до нуля. В результате получается замкнутая кривая, симметричная относительно прямой $\phi =\pm \frac{\pi }{2}$ . Следовательно, для вычисления общей длины кривой можно найти половину её длины $0\le \phi \le \frac{3\cdot \pi }{2}$ , после чего полученный результат удвоить.

Известно, что если на отрезке $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ кривая задана уравнением $\rho =\rho \left(\phi \right)$ в полярной системе координат, то длина её дуги вычисляется с помощью ОИ $L=\int \limits _{\alpha }^{\beta }\sqrt{\rho ^{2} \left(\phi \right)+\rho '^{2} \left(\phi \right)} \cdot d\phi$ .

Имеем: $\alpha =0$ ; $\beta =\frac{3\cdot \pi }{2}$ ; $\rho '=2\cdot \sin ^{2} \frac{\phi }{3} \cdot \cos \frac{\phi }{3}$ .

Вычисляем:

$\sqrt{\rho ^{2} +\rho '^{2} } =\sqrt{\left(2\cdot \sin ^{3} \frac{\phi }{3} \right)^{2} +\left(2\cdot \sin ^{2} \frac{\phi }{3} \cdot \cos \frac{\phi }{3} \right)^{2} } =$

$=\sqrt{4\cdot \sin ^{6} \frac{\phi }{3} +4\cdot \sin ^{4} \frac{\phi }{3} \cdot \cos ^{2} \frac{\phi }{3} } =2\cdot \sin ^{2} \frac{\phi }{3} ;$

$L=2\cdot \int \limits _{0}^{\frac{3\cdot \pi }{2} }2\cdot \sin ^{2} \frac{\phi }{3} \cdot d\phi =2\cdot \int \limits _{0}^{\frac{3\cdot \pi }{2} }\left(1-\cos \frac{2\cdot \phi }{3} \right)\cdot d\phi =$