Предел и непрерывность

Понятие предела числовой последовательности

Вспомним сначала определение числовой последовательности.

Понятие предела числовой последовательности имеет несколько основных определений:

• Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если для любого $\varepsilon >0$ существует номер $N$, зависящий от $\varepsilon$, такой, что для любого номера $n> N$ выполняется неравенство $\left|x_n-a\right|
• Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если в любую окрестность точки $a$ попадают все члены последовательности $(x_n)$, за исключением, быть может, конечного числа членов.

Рассмотрим пример вычисления значения предела числовой последовательности:

Понятие предела функции в точке

Понятие предела функции в точке имеет два классических определения:

1. Определение термина «предел» по Коши

   Действительное число $A$ называется пределом функции $f\left(x\right)$ при $x\to a$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta >0$, зависящий от $\varepsilon$, такой, что для любого $x\in X^{\backslash a}$, удовлетворяющих неравенству $\left|x-a\right|

2. Определение по Гейне

   Действительное число $A$ называется пределом функции $f\left(x\right)$ при $x\to a$, если для любой последовательности $(x_n)\in X$, сходящейся к числу $a$, последовательность значений $f(x_n)$ сходится к числу $A$.

Эти два определения связаны между собой.

Помимо классических подходов к вычислению пределов функции, вспомним формулы, которые могут также помочь в этом.

Таблица эквивалентных функций, когда $x$ бесконечно мал (стремится к нулю)

Одним из подходов к решению пределов является принцип замены на эквивалентную функцию. Таблица эквивалентных функций представлена ниже, чтобы ей воспользоваться, необходимо вместо функций справа подставить в выражение соответствующую элементарную функцию слева.

Рисунок 1. Таблица эквивалентности функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Также для решения пределов, значения которых сводятся к неопределённости, возможно применить правило Лопиталя. В общем случае неопределённость вида $\frac{0}{0}$ можно раскрыть разложив на множители числитель и знаменатель и затем сократив. Неопределённость, имеющую форму $\frac{\infty }{\infty}$ возможно разрешить после деления выражений в числителе и знаментателе на переменную, при которой находится старшая степень.

Замечательные пределы

• Первый замечательный предел:

${\mathop{lim}_{x\to 0} \frac{sinx}{x}\ }=1$

• Второй замечательный предел:

$\mathop{lim}_{x\to 0}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e$

Специальные пределы

• Первый специальный предел:

$\mathop{lim}_{x\to 0}\frac{{{log}_a (1+x-)\ }}{x}={{log}_a e\ }=\frac{1}{lna}$

• Второй специальный предел:

$\mathop{lim}_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=lna$

• Третий специальный предел:

$\mathop{lim}_{x\to 0}\frac{{(1+x)}^{\mu }-1}{x}=\mu$

Непрерывность функции

Функция $f(x)$ непрерывна в точке $х=х_0$, если $\mathop{{\rm lim\; }}\limits_{{\rm x}\to {\rm x}_{{\rm 0}} } f(x)=f(x_{0} )$.

Точка $x_0\in X$ называется точкой разрыва первого рода, если в ней существуют конечные пределы ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }$, ${\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }$, но нарушается равенство ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }={\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }=f(x_0)$

Причем, если ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }={\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }\ne f(x_0)$, то это точка устранимого разрыва, а если ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }\ne {\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }$, то точка скачка функции.

Точка $x_0\in X$ называется точкой разрыва второго рода, если в ней хотя бы один из пределов ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }$, ${\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }$ представляет собой бесконечность или не существует.