Понятие предела числовой последовательности
Вспомним сначала определение числовой последовательности.
Отображения множества натуральных чисел на множество действительных чисел называется числовой последовательностью.
Понятие предела числовой последовательности имеет несколько основных определений:
- Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если для любого $\varepsilon >0$ существует номер $N$, зависящий от $\varepsilon$, такой, что для любого номера $n> N$ выполняется неравенство $\left|x_n-a\right|
- Действительное число $a$ называется пределом числовой последовательности $(x_n)$, если в любую окрестность точки $a$ попадают все члены последовательности $(x_n)$, за исключением, быть может, конечного числа членов.
Рассмотрим пример вычисления значения предела числовой последовательности:
Найти предел ${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^2-3n+2}{2n^2-n-1}\ }$
Решение:
Для решения данного задания вначале нам необходимо вынести за скобки старшую степень, входящую в выражение:
${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{n^2-3n+2}{2n^2-n-1}\ }={\mathop{lim}_{x\to \infty } \frac{n^2\left(1-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}\right)}{n^2\left(2-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}\right)}\ }={\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{1-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}{2-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}\ }$
Если в знаменателе стоит бесконечно большая величина, то весь предел стремится к нулю, $\mathop{lim}_{n\to \infty }\frac{1}{n}=0$, использовав это, получим:
${\mathop{lim}_{n\to \infty } \frac{1-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}{2-\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}\ }=\frac{1-0+0}{2-0-0}=\frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$.
Понятие предела функции в точке
Понятие предела функции в точке имеет два классических определения:
Определение термина «предел» по Коши
Действительное число $A$ называется пределом функции $f\left(x\right)$ при $x\to a$, если для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta >0$, зависящий от $\varepsilon $, такой, что для любого $x\in X^{\backslash a}$, удовлетворяющих неравенству $\left|x-a\right|
Определение по Гейне
Действительное число $A$ называется пределом функции $f\left(x\right)$ при $x\to a$, если для любой последовательности $(x_n)\in X$, сходящейся к числу $a$, последовательность значений $f(x_n)$ сходится к числу $A$.
Эти два определения связаны между собой.
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Помимо классических подходов к вычислению пределов функции, вспомним формулы, которые могут также помочь в этом.
Таблица эквивалентных функций, когда $x$ бесконечно мал (стремится к нулю)
Одним из подходов к решению пределов является принцип замены на эквивалентную функцию. Таблица эквивалентных функций представлена ниже, чтобы ей воспользоваться, необходимо вместо функций справа подставить в выражение соответствующую элементарную функцию слева.
Рисунок 1. Таблица эквивалентности функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Также для решения пределов, значения которых сводятся к неопределённости, возможно применить правило Лопиталя. В общем случае неопределённость вида $\frac{0}{0}$ можно раскрыть разложив на множители числитель и знаменатель и затем сократив. Неопределённость, имеющую форму $\frac{\infty }{\infty}$ возможно разрешить после деления выражений в числителе и знаментателе на переменную, при которой находится старшая степень.
Замечательные пределы
${\mathop{lim}_{x\to 0} \frac{sinx}{x}\ }=1$
$\mathop{lim}_{x\to 0}{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e$
Специальные пределы
- Первый специальный предел:
$\mathop{lim}_{x\to 0}\frac{{{log}_a (1+x-)\ }}{x}={{log}_a e\ }=\frac{1}{lna}$
- Второй специальный предел:
$\mathop{lim}_{x\to 0}\frac{a^x-1}{x}=lna$
- Третий специальный предел:
$\mathop{lim}_{x\to 0}\frac{{(1+x)}^{\mu }-1}{x}=\mu $
Непрерывность функции
Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x=x_0$, если $\forall \varepsilon >{\rm 0}$ $\exists \delta (\varepsilon ,E_{0} )>{\rm 0}$ такое, что $\left|f(x)-f(x_{0} )\right|
Функция $f(x)$ непрерывна в точке $х=х_0$, если $\mathop{{\rm lim\; }}\limits_{{\rm x}\to {\rm x}_{{\rm 0}} } f(x)=f(x_{0} )$.
Точка $x_0\in X$ называется точкой разрыва первого рода, если в ней существуют конечные пределы ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }$, ${\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }$, но нарушается равенство ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }={\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }=f(x_0)$
Причем, если ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }={\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }\ne f(x_0)$, то это точка устранимого разрыва, а если ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }\ne {\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }$, то точка скачка функции.
Точка $x_0\in X$ называется точкой разрыва второго рода, если в ней хотя бы один из пределов ${\mathop{lim}_{x\to x_0-0} f(x_0)\ }$, ${\mathop{lim}_{x\to x_0+0} f(x_0)\ }$ представляет собой бесконечность или не существует.
Исследовать на непрерывность $y=\frac{2}{x}$
Решение:
${\mathop{lim}_{x\to 0-0} f(x)\ }={\mathop{lim}_{x\to 0-0} \frac{2}{x}\ }=-\infty $ — функция имеет точку разрыва второго рода.
