Первый и второй замечательные пределы

Первый замечательный предел">

1. Пусть х лежит в области (0; $\pi$/2). На единичной окружности данная область ограничена прямыми ОК и О1.
2. Точка пересечения луча и окружности -- К, касательная к окружности -- L, а проекция К на ОХ обозначена точкой H.
3. Из рисунка видно, что
$$S_{\Delta OKA} где $S_sOKA$ -- площадь сектора ОКА \[S_{\Delta OKA} =\frac{1}{2} \left|OA\right|\left|KH\right|=\frac{1}{2} \cdot 1\cdot 1\cdot \sin x=\frac{\sin x}{2}$$ $$S_{sOKA} =\frac{1}{2} R^{2} x=\frac{x}{2}$$ $$S_{\Delta OAL} =\frac{1}{2} \left|OA\right|\left|LA\right|=\frac{tgx}{2}$$
4. Подставим полученные выражения в неравенство
\[\frac{\sin x}{2} Поскольку х стремится к 0: \[\frac{1}{tgx}

1. Если х стремится к бесконечности, каждое значение х располагается между положительными целыми. Где n -- целая часть числа х.
$$n\le x Таким образом, \[\frac{1}{n+1} Если х стремится к бесконечности, то и n так же стремится к $\infty $. \[\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n} =\frac{\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left(1+\frac{1}{n+1} \right)^{n+1} }{\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left(1+\frac{1}{n+1} \right)} =\frac{e}{1} =e$$ $$\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n+1} =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n} \cdot \mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \left(1+\frac{1}{n} \right)=e\cdot 1=e$$
2. По признаку о пределе промежуточной функции:
$$\mathop{\lim }\limits_{x\to \infty } \left(1+\frac{1}{x} \right)^{x} =e$$