Локальная теорема Лапласа
Пусть проводится n испытаний Бернулли с вероятностью р появления события А в каждом из них. Пусть при этом n достаточно большое число и npq ≥ 10 (n -- большое, а p -- не очень маленькое) Тогда вероятность, того, что событие А произойдет ровно k раз может быть найдена по приближенной формуле:
таблица значений функции φ(x)обычно приводится в задачниках Теории вероятностей.
Свойства функции φ(x):
- φ(x)>0
- φ(−x)=φ(x)
- ${\mathop{lim}_{n\to \infty } (x)\ }=0,\ \ \ (\left(x\right)
Какова вероятность, что из 100 новорожденных ровно 40 окажутся мальчики.
n=100k=40p=0,5}x=k−np√npq=40−100⋅0,5√100⋅40⋅0,5=−2 P100(40)=1√100⋅0,5⋅0,5φ(−2)=15φ(−2)=15φ(2)=15⋅0,054=0,04Интегральная теорема Лапласа
В условиях локальной теоремы Лапласа вероятность того, что событие А произойдет от k1 до k2 раз (k1≤k≤k2)
Pn(k1;k2)=(x")−(x′) x"=k2−np√npq x′=k1−np√npqP(x)=1√2π∫e−t22dt−формула Лапласа
Иногда функцией Лапласа называется выражение несколько отличающееся от написанного.
Свойство функции Лапласа:
- (−x)=(x)
- (x) -- монотонно возрастает
- $0,5
Локальная и интегральная теоремы Лапласа">
Замечание: функция Лапласа (x) связана с (x): (x)=∫x0(t)dt
Схожесть семян составляет 90%. Какова вероятность, что из 100 семян взойдут от 84 до 96 семян.
n=100 p=0,9 84≤k≤96 k1=84 k2=96 x″ x'=\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}}=\frac{84-100\cdot 0,9}{\sqrt{9}}=-2 P_{100}\left(84,96\right)=\left(x''\right)-\left(x'\right)=\left(2\right)-\left(-2\right)=2\left(2\right)=0,95Имеются таблицы, в которых помещены значения функции \left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{x^2}{2}}, соответствующие положительным значениям аргумента x. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция \varphi (x) является чётной.
В театре, который вмещает 1000 зрителей, есть два входа, каждый из которых имеет свой гардероб. Какое должно быть минимальное количество мест в каждом гардеробе, что б с вероятностью P\ge 0,99 все зрители смогли раздеться в гардеробе того входа, через который они заходили? Примем во внимание, что зрители приходят парами и каждая пара независимо друг от друга выбирает один из входов с равным количеством вероятностей.
Пускай в каждом из двух гардеробов должно быть 2n мест. Через 2m обозначим число тех зрителей, которые воспользовались первым входом в театр, тогда вторым входом воспользовалось 1000-2m зрителей. В задаче необходимо что б выполнялось условие:
P\left\{2m\le 2n,\ \ \ 1000-2m\le 2n\right\}\ge 0,99 или
P\left\{1000-2n\le 2m\le 2n\right\}\ge 0,99; P\left\{500-n\le m\le n\right\}\ge 0,99Принимая во внимания, что n=500, а p=\frac{1}{2}, за формулой P_n\left(k_1;;k_2\right)=\left(x^{''}\right)-\left(x'\right),\ получим
P\left\{500-n\le m\le n\right\}=\left(\frac{n-500\cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{500\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}}\right)-\left(\frac{500-n-500\cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{500\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}}\right)= =\left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)-\left(-\frac{n+250}{5\sqrt{5}}\right)=\left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)+\left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)= =2\left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)\ge 0,99.Искомое минимальное значение найдем с условия \left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)\ge 0,495.
За таблицей которая имеется почти во всех книгах теории вероятности найдем, что \frac{n-250}{5\sqrt{5}}=2,68. Откуда n\ge 279.
Значит, в каждом из гардеробов должно быть не меньше 279\cdot 2=558 мест.
Вероятность того, что деталь не прошла контроль качества p=0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно выбранных деталей окажется непроверенными 70 деталей.
По условию задачи p=0,2;\ \ q=1-0,2=0,8;\ \ \ n=400;\ \ k=70.
Найдем
x_{70}=\frac{70-np}{\sqrt{npq}}=\frac{70-400\cdot 0,2}{\sqrt{400\cdot 0,2\cdot 0,8}}=-1,25.За локальной теоремой Лапласа, получим
P_{400}\left(70\right)=\frac{1}{\sqrt{400\cdot 0,2\cdot 0,8}}\cdot \left(-1,25\right).Значение \left(-1,25\right)=\left(1,25\right) в таблице находим \left(1,25\right)=0,8126. Тогда подставив это значение в предыдущую формулу получим P_{400}\left(70\right)=\frac{0,1826}{8}\approx 0,023.
