Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Локальная теорема Лапласа

Пусть проводится $n$ испытаний Бернулли с вероятностью р появления события А в каждом из них. Пусть при этом $n$ достаточно большое число и $npq$ ≥ 10 ( $n$ -- большое, а $p$ -- не очень маленькое) Тогда вероятность, того, что событие А произойдет ровно k раз может быть найдена по приближенной формуле:

Замечание

таблица значений функции $\varphi$ $(x)$ обычно приводится в задачниках Теории вероятностей.

Свойства функции $\varphi$ $\left(x\right):$

$\varphi$ $\left(x\right)>0$
$\varphi$ $\left(-x\right)=$ $\varphi$ $\left(x\right)$
${\mathop{lim}_{n\to \infty } (x)\ }=0,\ \ \ (\left(x\right)

Пример 1

Какова вероятность, что из 100 новорожденных ровно 40 окажутся мальчики.

$\left. \begin{array}{c} n=100 \\ k=40 \\ p=0,5 \end{array} \right\} x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}=\frac{40-100\cdot 0,5}{\sqrt{100\cdot 40\cdot 0,5}}=-2$

$P_{100}\left(40\right)=\frac{1}{\sqrt{100\cdot 0,5\cdot 0,5}}\varphi \left(-2\right)=\frac{1}{5}\varphi \left(-2\right)=\frac{1}{5}\varphi \left(2\right)=\frac{1}{5}\cdot 0,054=0,04$

Интегральная теорема Лапласа

В условиях локальной теоремы Лапласа вероятность того, что событие А произойдет от $k_1$ до $k_2$ раз $\left(k_1\le k\le k_2\right)$

$P_n\left(k_1;k_2\right)=\left(x"\right)-\left(x'\right)$

$x"=\frac{k_2-np}{\sqrt{npq}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x'=\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}}$

$P\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int{e^{\frac{-t^2}{2}dt}}-$ формула Лапласа

Замечание

Иногда функцией Лапласа называется выражение несколько отличающееся от написанного.

Свойство функции Лапласа:

$\left(-x\right)=\left(x\right)$
$\left(x\right)$ -- монотонно возрастает
$0,5

Замечание

Замечание: функция Лапласа $\left(x\right)$ связана с $\left(x\right):\ \ \ \left(x\right)=\int\nolimits^x_0{\left(t\right)dt}$

«Локальная и интегральная теоремы Лапласа» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Пример 2

Схожесть семян составляет 90%. Какова вероятность, что из 100 семян взойдут от 84 до 96 семян.

$n=100$

$p=0,9$

$84\le k\le 96$

$k_1=84$

$k_2=96$

$x''=\frac{k_2-np}{\sqrt{npq}}=\frac{96-100\cdot 0,9}{\sqrt{9}}=2$

$x'=\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}}=\frac{84-100\cdot 0,9}{\sqrt{9}}=-2$

$P_{100}\left(84,96\right)=\left(x''\right)-\left(x'\right)=\left(2\right)-\left(-2\right)=2\left(2\right)=0,95$

Замечание

Имеются таблицы, в которых помещены значения функции $\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{x^2}{2}},$ соответствующие положительным значениям аргумента x. Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция $\varphi$ (x) является чётной.

Пример 3

В театре, который вмещает 1000 зрителей, есть два входа, каждый из которых имеет свой гардероб. Какое должно быть минимальное количество мест в каждом гардеробе, что б с вероятностью $P\ge 0,99$ все зрители смогли раздеться в гардеробе того входа, через который они заходили? Примем во внимание, что зрители приходят парами и каждая пара независимо друг от друга выбирает один из входов с равным количеством вероятностей.

Пускай в каждом из двух гардеробов должно быть $2n$ мест. Через $2m$ обозначим число тех зрителей, которые воспользовались первым входом в театр, тогда вторым входом воспользовалось $1000-2m$ зрителей. В задаче необходимо что б выполнялось условие:

$P\left\{2m\le 2n,\ \ \ 1000-2m\le 2n\right\}\ge 0,99$ или

$P\left\{1000-2n\le 2m\le 2n\right\}\ge 0,99;$

$P\left\{500-n\le m\le n\right\}\ge 0,99$

Принимая во внимания, что $n=500,$ а $p=\frac{1}{2},$ за формулой $P_n\left(k_1;;k_2\right)=\left(x^{''}\right)-\left(x'\right),\$ получим

$P\left\{500-n\le m\le n\right\}=\left(\frac{n-500\cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{500\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}}\right)-\left(\frac{500-n-500\cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{500\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}}\right)=$

$=\left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)-\left(-\frac{n+250}{5\sqrt{5}}\right)=\left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)+\left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)=$

$=2\left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)\ge 0,99.$

Искомое минимальное значение найдем с условия $\left(\frac{n-250}{5\sqrt{5}}\right)\ge 0,495.$

За таблицей которая имеется почти во всех книгах теории вероятности найдем, что $\frac{n-250}{5\sqrt{5}}=2,68.$ Откуда $n\ge 279.$

Значит, в каждом из гардеробов должно быть не меньше $279\cdot 2=558$ мест.

Пример 4

Вероятность того, что деталь не прошла контроль качества $p=0,2.$ Найти вероятность того, что среди 400 случайно выбранных деталей окажется непроверенными 70 деталей.

По условию задачи $p=0,2;\ \ q=1-0,2=0,8;\ \ \ n=400;\ \ k=70.$

Найдем

$x_{70}=\frac{70-np}{\sqrt{npq}}=\frac{70-400\cdot 0,2}{\sqrt{400\cdot 0,2\cdot 0,8}}=-1,25.$

За локальной теоремой Лапласа, получим

$P_{400}\left(70\right)=\frac{1}{\sqrt{400\cdot 0,2\cdot 0,8}}\cdot \left(-1,25\right).$

Значение $\left(-1,25\right)=\left(1,25\right)$ в таблице находим $\left(1,25\right)=0,8126.$ Тогда подставив это значение в предыдущую формулу получим $P_{400}\left(70\right)=\frac{0,1826}{8}\approx 0,023.$