Формула Бернулли

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Пусть относительно события А проводится n испытаний. Введем события: Аk -- событие А осуществилось при k-том испытании, $k=1,2,\dots , n$ . Тогда $\bar{A}_{k}$ - противоположное событие (событие А не осуществилось при k-том испытании, $k=1,2,\dots , n$ ).

Что такое однотипные и независимые испытания

Определение

Испытания называются однотипными по отношению к событию А, если вероятности событий $А1, А2, \dots , Аn$ совпадают: $Р(А1)=Р(А2)= \dots =Р(Аn)$ (т.е. вероятность появления события А в одном испытании постоянна во всех испытаниях).

Очевидно, что в этом случае вероятности противоположных событий также совпадают: $P(\bar{A}_{1} )=P(\bar{A}_{2} )=...=P(\bar{A}_{n} )$ .

Определение

Испытания называются независимыми по отношению к событию А, если события $А1, А2, \dots , Аn$ независимы.

В этом случае

$P(A_{1} \cdot A_{2} \cdot ...\cdot A_{n} )=P(A_{1} )\cdot P(A_{2} )\cdot ...\cdot P(A_{n} )$

При этом равенство сохраняется при замене любого события Аk на $\bar{A}_{k}$ .

Пусть по отношению к событию А проводится серия из n однотипных независимых испытаний. Ведем обозначения: р -- вероятность осуществления события А в однoм испытании; q -- вероятность противоположного события. Таким образом, Р(Ак)=р, $P(\bar{A}_{k} )=q$ для любого k и p+q=1.

Вероятность того, что в серии из n испытаний событие А осуществится ровно k раз (0 ≤ k ≤ n), вычисляется по формуле:

$P_{n} (k)=C_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}$ (1)

Равенство (1) называется формулой Бернулли.

Вероятность того, что в серии из n однoтипных независимых испытаний событие А осуществится не менее k1 раз и не более k2 раз, вычисляется по формуле:

$P_{n} (k_{1} \le k\le k_{2} )=\sum \limits _{k=k_{1} }^{k_{2} }C_{n}^{k} p^{k} q^{n-k}$ (2)

Применение формулы Бернулли при больших значениях n приводит к громоздким вычислениям, поэтому в этих случаях лучше использовать другие формулы -- асимптотические.

Обобщение схемы Бернулли

Рассмотрим обобщение схемы Бeрнулли. Если в серии из n независимых испытаний, каждое из которых имеет m попарно несовместимых и возможных результатов Аk с соответствующими вероятностями Рk= рk(Аk). То справедлива формула полиномиального расспредиления:

$P_n\left(k_1,k_2,\dots ,k_m\right)=\frac{n!}{k_1!k_2!\dots k_m!}{P_1}^{k_1}\cdot {P_2}^{k_2}\cdot \dots \cdot {P_m}^{k_m}$

«Формула Бернулли» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Пример 1

Вероятность заболевания гриппом во время эпидемии равна 0,4. Найти вероятность того, что из 6 сoтрудников фирмы заболеют

ровно 4 сотрудника;
не более 4-х сотрудников.

Решение. 1) Очевидно, что для решения данной задачи применима формула Бернулли, где n=6; k=4; р=0,4; q=1-р=0,6. Применяя формулу (1), получим: $P_{6} (4)=C_{6}^{4} \cdot 0,4^{4} \cdot 0,6^{2} \approx 0,138$ .

Для решения этой задачи применима формула (2), где k1=0 и k2=4. Имеем:

$\begin{array}{l} {P_{6} (0\le k\le 4)=\sum \limits _{k=0}^{4}C_{6}^{k} p^{k} q^{6-k} =C_{6}^{0} \cdot 0,4^{0} \cdot 0,6^{6} +C_{6}^{1} \cdot 0,4^{1} \cdot 0,6^{5} +C_{6}^{2} \cdot 0,4^{2} \cdot 0,6^{4} +} \\ {+C_{6}^{3} \cdot 0,4^{3} \cdot 0,6^{3} +C_{6}^{4} \cdot 0,4^{4} \cdot 0,6^{2} \approx 0,959.} \end{array}$

Следует заметить, что эту задачу проще решать, используя противоположное событие -- заболело более 4-х сотрудников. Тогда с учетом формулы (7) о вероятностях противоположных событий получим:

$P_{6} (0\le k\le 4)=1-P_{6} (5\le k\le 6)=1-C_{6}^{5} \cdot 0,4^{5} \cdot 0,6+C_{6}^{6} \cdot 0,4^{6} \cdot 0,6^{0} \approx 0,959.$

Ответ: $\ 0,959$ .

Пример 2

В урнe 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых рисунок 1.

Формула Бернулли

Рисунок 1.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что -- достали белый шар. Тогда вероятности $D (A)=\frac{2}{3} ,\, \, D (\overline{A})=1-\frac{2}{3} =\frac{1}{3}$ .

По формуле Бернулли требуемая вероятность равна $D_{4} (2)=N_{4}^{2} \left(\frac{2}{3} \right)^{2} \left(\frac{1}{3} \right)^{2} =\frac{8}{27}$ .

Ответ: $\frac{8}{27}$ .

Пример 3

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение. Вероятность рождения девочки $\partial =\frac{1}{2} ,\, q=\frac{1}{2}$ -вероятность рождения мальчика. В семье не больше трех девочек означает, что девочек родилась либо одна, либо две, либо три , либо в семье все мальчики.

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки: $D_{5} (0)=q^{5} =\frac{1}{32}$ ,

$P_{5} (1)=C_{5}^{1} p^{1} q^{4} =\frac{5}{32} ,$

$P_{5} (2)=C_{5}^{2} p^{2} q^{3} =\frac{10}{32} ,$

$P_{5} (3)=C_{5}^{3} p^{3} q^{2} =\frac{10}{32} .$

Следовательно, искомая вероятность $D =D_{5} (0)+D_{5} (1)+D_{5} (2)+D_{5} (3)=\frac{13}{16}$ .

Ответ: $\frac{13}{16}$ .

Пример 4

Первый стрeлок при одном выстриле может попасть в десятку с вероятностью 0,6 в девятку с вероятностью 0,3, а в восьмерку с вероятностью 0,1. Какая вероятность того, что при 10 выстрелах он попадет в десятку шесть раз, в девятку три раза и в восьмерку 1 раз?

Решение.

Пускай p1=0.6, p2=0.3, p3=0.1.

Для решения задачи воспользуемся обобщением формулы Бернулли:

$P_{10}\left(6;3;1\right)=\frac{10!}{6!3!1!}{0.6}^6\cdot {0.3}^3\cdot {0.1}^1\approx 0.106$

Пример 5

Длительной проверкой качества стандартных деталей установлено, что 75% деталей не имеют дефектов. Какова вероятность, что из взятых наудачу 6 деталей ровно 5 не имеют дефектов?

Решение. Из условия задачи следует, что A-число стандартных деталей из 6 взятых -- имеет биномиальное распределение с параметрами п=6 и р=0,75. По формуле Бернулли

Р(5) = $C_{6}^{5} \cdot 0,755 \cdot 0,25=0,356$ .

Пример 6

Всхожесть семян данного сорта растений оценивается вероятностью 0,8. Какова вероятность того, что из 5 посеянных зерен взойдет не менее 4? Найти среднее число взошедших семян.

Решение.