Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Последовательности. Числовые последовательности

Понятие числовой последовательности

Введем два определения числовой последовательности:

Определение 1

Числовая функция, у которой область определения совпадает с натуральным рядом чисел, будет называться числовой последовательностью.

Определение 2

Отображения натурального ряда чисел на множество действительных чисел будет называться числовой последовательностью.

Математически это можно записать следующим образом:

f:NR

Числовая последовательность обозначается следующим образом:

pk=p1,p2,,pk,

где p1,p2,,pk, - действительные числа.

Способы задания

Есть три различных способа для задания числовых последовательностей. Опишем их.

  • Аналитический.

    В этом способе последовательность задается в виде формулы, с помощью которой можно найти любой член этой последовательности, подставляя в нее вместо переменной натуральные числа.

    Пример: pk=k2+2k+7k6.

  • Рекуррентный.

    Данный способ задания последовательности заключается в следующем: Дается первый (или несколько первых) член данной последовательности, а затем формула, которая связывает любой член ее с предыдущим членом или предыдущими членами.

    Пример: p1=10,p2=1,pk+1=2pk1+pk.

  • Словесный.

    При этом способе числовая последовательность просто описывается без введения каких-либо формул.

    Пример: Последовательность абсолютных значений отрицательных чисел.

Примеры задач

Пример 1

Найти первые 5 членов последовательности, которая задана аналитически

pk=k2+2k+7k6

Решение.

Для этого нам необходимо в данное аналитическое выражение числа 1,2,3,4 и 5.

k=1.

p1=12+2+716=2

k=2.

p2=4+4+726=154=3.75

k=3.

p3=9+6+736=223

k=4.

p4=16+8+746=312=15.5

k=5.

p5=25+10+756=42

Ответ: 2, 3.75, 223, 15.5, 42.

«Последовательности. Числовые последовательности» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ
Пример 2

Найти первые 5 члена последовательности, которая задана рекуррентно

p1=10,p2=1,pk+1=2pk1pk

Решение.

Первые два члена уже даны. Найдем из рекуррентной формулы 3 и 4члены:

Третий член по данной формуле равен

p3=2p1p2=201=19.

Четвертый член по данной формуле равняется

p4=2p2p3=219=17.

Пятый член по данной формуле равняется

p5=2p3p4=38+17=55.

Ответ: 10,1,19,17,55.

Пример 3

Записать последовательность, которая задана словесно, рекуррентным способом и записать ее: Первые два числа равняются двум и единице, а остальные равняются произведению двух предыдущих.

Решение.

Очевидно, что

p1=2,p2=1

Условию далее, можно записать следующее рекуррентное соотношение:

pk+2=pk+1pk

Тогда последовательность имеет вид:

2,1,2,2,4,8,32,

Ответ: p1=2,p2=1,pk+2=pk+1pk.

2,1,2,2,4,8,32,.

Пример 4

Записать последовательность, которая задана словесно, аналитическим способом и записать ее: Последовательность чисел, в которой натуральное число складывается с тройкой и делится на 2.

Решение.

Обозначим произвольное натуральное число через k. Тогда формула аналитической записи описанной выше последовательности имеет вид:

pk=k+32

Тогда последовательность имеет вид:

2,2.5,3,3.5,4,

Ответ: pk=k+32.

Дата последнего обновления статьи: 17.06.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Последовательности. Числовые последовательности"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant