Понятие числовой последовательности
Введем два определения числовой последовательности:
Числовая функция, у которой область определения совпадает с натуральным рядом чисел, будет называться числовой последовательностью.
Отображения натурального ряда чисел на множество действительных чисел будет называться числовой последовательностью.
Математически это можно записать следующим образом:
f:N→R
Числовая последовательность обозначается следующим образом:
pk=p1,p2,…,pk,…
где p1,p2,…,pk,… - действительные числа.
Способы задания
Есть три различных способа для задания числовых последовательностей. Опишем их.
-
Аналитический.
В этом способе последовательность задается в виде формулы, с помощью которой можно найти любой член этой последовательности, подставляя в нее вместо переменной натуральные числа.
Пример: pk=k2+2k+7k−6.
-
Рекуррентный.
Данный способ задания последовательности заключается в следующем: Дается первый (или несколько первых) член данной последовательности, а затем формула, которая связывает любой член ее с предыдущим членом или предыдущими членами.
Пример: p1=10,p2=1,pk+1=2pk−1+pk.
-
Словесный.
При этом способе числовая последовательность просто описывается без введения каких-либо формул.
Пример: Последовательность абсолютных значений отрицательных чисел.
Примеры задач
Найти первые 5 членов последовательности, которая задана аналитически
pk=k2+2k+7k−6
Решение.
Для этого нам необходимо в данное аналитическое выражение числа 1,2,3,4 и 5.
k=1.
p1=12+2+71−6=−2
k=2.
p2=4+4+72−6=−154=−3.75
k=3.
p3=9+6+73−6=−223
k=4.
p4=16+8+74−6=−312=−15.5
k=5.
p5=25+10+75−6=−42
Ответ: −2, −3.75, −223, −15.5, −42.
Найти первые 5 члена последовательности, которая задана рекуррентно
p1=10,p2=1,pk+1=2pk−1−pk
Решение.
Первые два члена уже даны. Найдем из рекуррентной формулы 3 и 4члены:
Третий член по данной формуле равен
p3=2p1−p2=20−1=19.
Четвертый член по данной формуле равняется
p4=2p2−p3=2−19=−17.
Пятый член по данной формуле равняется
p5=2p3−p4=38+17=55.
Ответ: 10,1,19,−17,55.
Записать последовательность, которая задана словесно, рекуррентным способом и записать ее: Первые два числа равняются двум и единице, а остальные равняются произведению двух предыдущих.
Решение.
Очевидно, что
p1=2,p2=1
Условию далее, можно записать следующее рекуррентное соотношение:
pk+2=pk+1⋅pk
Тогда последовательность имеет вид:
2,1,2,2,4,8,32,…
Ответ: p1=2,p2=1,pk+2=pk+1⋅pk.
2,1,2,2,4,8,32,….
Записать последовательность, которая задана словесно, аналитическим способом и записать ее: Последовательность чисел, в которой натуральное число складывается с тройкой и делится на 2.
Решение.
Обозначим произвольное натуральное число через k. Тогда формула аналитической записи описанной выше последовательности имеет вид:
pk=k+32
Тогда последовательность имеет вид:
2,2.5,3,3.5,4,…
Ответ: pk=k+32.