Понятие числовой последовательности
Введем два определения числовой последовательности:
Числовая функция, у которой область определения совпадает с натуральным рядом чисел, будет называться числовой последовательностью.
Отображения натурального ряда чисел на множество действительных чисел будет называться числовой последовательностью.
Математически это можно записать следующим образом:
$f:N→R$
Числовая последовательность обозначается следующим образом:
${p_k }={p_1,p_2,…,p_k,…}$
где $p_1,p_2,…,p_k,…$ - действительные числа.
Способы задания
Есть три различных способа для задания числовых последовательностей. Опишем их.
-
Аналитический.
В этом способе последовательность задается в виде формулы, с помощью которой можно найти любой член этой последовательности, подставляя в нее вместо переменной натуральные числа.
Пример: $p_k=\frac{k^2+2k+7}{k-6}$.
-
Рекуррентный.
Данный способ задания последовательности заключается в следующем: Дается первый (или несколько первых) член данной последовательности, а затем формула, которая связывает любой член ее с предыдущим членом или предыдущими членами.
Пример: $p_1=10,p_2=1,p_{k+1}=2p_{k-1}+p_k$.
-
Словесный.
При этом способе числовая последовательность просто описывается без введения каких-либо формул.
Пример: Последовательность абсолютных значений отрицательных чисел.
Примеры задач
Найти первые $5$ членов последовательности, которая задана аналитически
$p_k=\frac{k^2+2k+7}{k-6}$
Решение.
Для этого нам необходимо в данное аналитическое выражение числа $1, 2, 3, 4 \ и \ 5$.
$k=1$.
$p_1=\frac{1^2+2+7}{1-6}=-2$
$k=2$.
$p_2=\frac{4+4+7}{2-6}=\frac{-15}{4}=-3.75$
$k=3$.
$p_3=\frac{9+6+7}{3-6}=\frac{-22}{3}$
$k=4$.
$p_4=\frac{16+8+7}{4-6}=\frac{-31}{2}=-15.5$
$k=5$.
$p_5=\frac{25+10+7}{5-6}=-42$
Ответ: $-2$, $-3.75$, $\frac{-22}{3}$, $-15.5$, $-42$.
Найти первые $5$ члена последовательности, которая задана рекуррентно
$p_1=10,p_2=1,p_{k+1}=2p_{k-1}-p_k$
Решение.
Первые два члена уже даны. Найдем из рекуррентной формулы $3$ и $4$члены:
Третий член по данной формуле равен
$p_3=2p_1-p_2=20-1=19$.
Четвертый член по данной формуле равняется
$p_4=2p_2-p_3=2-19=-17$.
Пятый член по данной формуле равняется
$p_5=2p_3-p_4=38+17=55$.
Ответ: $10, 1, 19, -17, 55$.
Записать последовательность, которая задана словесно, рекуррентным способом и записать ее: Первые два числа равняются двум и единице, а остальные равняются произведению двух предыдущих.
Решение.
Очевидно, что
$p_1=2,p_2=1$
Условию далее, можно записать следующее рекуррентное соотношение:
$p_{k+2}=p_{k+1}\cdot p_k$
Тогда последовательность имеет вид:
$2,1,2,2,4,8,32,…$
Ответ: $p_1=2,p_2=1,p_{k+2}=p_{k+1}\cdot p_k$.
$2,1,2,2,4,8,32,….$
Записать последовательность, которая задана словесно, аналитическим способом и записать ее: Последовательность чисел, в которой натуральное число складывается с тройкой и делится на $2$.
Решение.
Обозначим произвольное натуральное число через $k$. Тогда формула аналитической записи описанной выше последовательности имеет вид:
$p_k=\frac{k+3}{2}$
Тогда последовательность имеет вид:
$2,2.5,3,3.5,4,…$
Ответ: $p_k=\frac{k+3}{2}$.
