Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Сложение и вычитание дробей

С алгебраическими дробями можно проводить любые математические операции, такие как сравнение, сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.

Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями складывают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби:

т.е. при сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.

Пример 1

Найти сумму 17b2a+24 b2a

Данные алгебраические дроби являются дробями с одинаковыми знаменателями, поэтому для нахождения их суммы воспользуемся правилом сложения дробей с одинаковым знаменателем, тогда получим

17b2a+24 b2a=17b2+24 b2a=41b2a

Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями вычитают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби

adbd=abd

т.е. при вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель уменьшаемой исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.

Пример 2

Найти разность двух дробей 16x4x2x4

Исходные алгебраические дроби являются дробями с одинаковыми знаменателями, поэтому для нахождения их разности воспользуемся правилом вычитания дробей с одинаковым знаменателем, тогда получим

16x4x2x4=16x2x4

Далее заметим, что полученную дробь можно сократить, но для этого сначала необходимо изменить знак в числителе дроби. Чтобы это сделать, вспомним, что для того, чтобы получить тождественное выражение, необходимо воспользоваться следующим свойством:

Если изменить знак числителя или знаменателя дроби, то для получения тождественного выражения необходимо изменить и знак перед дробью. Тогда получим:

16x4x2x4=16x2x4=x216x4

Теперь для преобразования дроби воспользуемся формулой разности квадратов, обратив внимание на то, что 16=42, значит указанную формулу сокращенного умножения можно применять для того, чтобы разложить выражение, стоящее в числителе на множители

х216=(x4)(x+4)
х

Тогда получаем

16x4x2x4=16x2x4=x216x4=(x4)(x+4)x4

Заметим, что числитель и знаменатель дроби содержит одинаковое выражение х-4, на которое можно сократить дробь

16x4x2x4=x216x4=(x4)(x+4)x4= (x+4)=x4
«Сложение и вычитание дробей» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Замечание 1

Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями выполняют действия, аналогичные тем, которые производят при сложении и вычитании обычных дробей с разными знаменателями.

Алгоритм:

  1. Привести дроби к одинаковому знаменателю.

  2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей, которые являются произведением множителей, входящих в новый знаменатель и не входящие в старый.

  3. Вычислить новый числитель для каждой дроби. Для этого надо старый числитель умножить на дополнительный множитель, найденный на 2 шаге.

  4. Выполнить сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем.

Самое трудное в указанном алгоритме - это нахождение общего знаменателя. Общим знаменателем должно выступить выражение (одночлен или многочлен), которое делится на каждый из знаменателей исходных дробей без остатка.

Если в условии в заданных дробях знаменатели не представлены в виде произведения множителей, то сначала необходимо чаще всего их на множители разложить и далее найти НОК знаменателей данных дробей.

Алгоритм нахождения общего знаменателя алгебраических дробей

  1. Разложить знаменатели на множители.

  2. Найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов, имеющихся в знаменателях.

  3. Составить произведение буквенных множителей, входящих в состав знаменателей, причем, если некоторый множитель входит в состав нескольких знаменателей, его необходимо взять с наибольшим показателем степени из имеющихся.

  4. Составить общий знаменатель, который является произведением числового коэффициента, полученного на 2 этапе, и буквенной части, полученной на 3 шаге.

Пример 3

Найти общий знаменатель для дробей 2xy14x3 и 3yx6xy

Воспользуемся алгоритмом.

  1. Исходные знаменатели уже представляют собой произведение множителей, значит, переходим к шагу 2.

  2. Коэффициенты данных выражений 4 и 6 . Найдем их НОК:

    4=22

    6=23, тогда НОК(4,6)=223=12НОК

  3. В состав знаменателей первой и второй дроби входит переменная x, но в знаменателе первой дроби показатель степени равен 3(x3), а в знаменателе второй дроби переменная x в первой степени. Поэтому выбираем для общего знаменателя x3. Переменная y входит во второй знаменатель, значит и ее включаем в искомое произведение, которое будет являться общим знаменателем в последствии. Искомое произведение буквенной части будет иметь вид: x3y

  4. Составляем общий знаменатель, который является произведением числового коэффициента, полученного на 2 этапе, и буквенной части, полученной на 3 шаге: 12x3y.

Теперь попробуем выполнить сложение указанных дробей по алгоритму.

Пример 4

Выполнить сложение дробей 2xy14x3 и 3yx6xy

  1. 1шаг нами выполнен в предыдущем примере: общим знаменателем этих двух дробей будет одночлен 12x3y.

  2. Найти дополнительные множители для каждой из дробей, которые являются произведением множителей, входящих в новый знаменатель и не входящие в старый.



    Рисунок 1.

  3. Вычислить новый числитель для каждой дроби. Для этого надо старый числитель умножить на дополнительный множитель, найденный на 2 шаге.



    Рисунок 2.

  4. Выполнить сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем

    2xу14x3+3уx6xy=6xy23y12x3y+6x2y 2x312x3y=6xy2 3y+6x2y 2x312x3y
Дата последнего обновления статьи: 29.04.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Сложение и вычитание дробей"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant