С алгебраическими дробями можно проводить любые математические операции, такие как сравнение, сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями складывают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби:
т.е. при сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.
Найти сумму $\frac{17b^2}{a}+\frac{24\ b^2}{a}$
Данные алгебраические дроби являются дробями с одинаковыми знаменателями, поэтому для нахождения их суммы воспользуемся правилом сложения дробей с одинаковым знаменателем, тогда получим
\[\frac{17b^2}{a}+\frac{24\ b^2}{a}=\frac{17b^2+24\ b^2}{a}=\frac{41b^2}{a}\]Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями вычитают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби
\[\frac{a}{d}-\frac{b}{d}=\frac{a-b}{d}\]т.е. при вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель уменьшаемой исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.
Найти разность двух дробей $\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}$
Исходные алгебраические дроби являются дробями с одинаковыми знаменателями, поэтому для нахождения их разности воспользуемся правилом вычитания дробей с одинаковым знаменателем, тогда получим
\[\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}=\frac{16-x^2}{x-4}\]Далее заметим, что полученную дробь можно сократить, но для этого сначала необходимо изменить знак в числителе дроби. Чтобы это сделать, вспомним, что для того, чтобы получить тождественное выражение, необходимо воспользоваться следующим свойством:
Если изменить знак числителя или знаменателя дроби, то для получения тождественного выражения необходимо изменить и знак перед дробью. Тогда получим:
\[\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}=\frac{16-x^2}{x-4}=-\frac{x^2-16}{x-4}\]Теперь для преобразования дроби воспользуемся формулой разности квадратов, обратив внимание на то, что $16=4^2$, значит указанную формулу сокращенного умножения можно применять для того, чтобы разложить выражение, стоящее в числителе на множители
\[х^2-16=(x-4)(x+4)\]Тогда получаем
\[\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}=\frac{16-x^2}{x-4}=-\frac{x^2-16}{x-4}=-\frac{(x-4)(x+4)}{x-4}\]Заметим, что числитель и знаменатель дроби содержит одинаковое выражение х-4, на которое можно сократить дробь
\[\frac{16}{x-4}-\frac{x^2}{x-4}=-\frac{x^2-16}{x-4}=-\frac{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{x-4}=\ -\left(x+4\right)=-x-4\]Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями выполняют действия, аналогичные тем, которые производят при сложении и вычитании обычных дробей с разными знаменателями.
Алгоритм:
-
Привести дроби к одинаковому знаменателю.
-
Найти дополнительные множители для каждой из дробей, которые являются произведением множителей, входящих в новый знаменатель и не входящие в старый.
-
Вычислить новый числитель для каждой дроби. Для этого надо старый числитель умножить на дополнительный множитель, найденный на $2$ шаге.
-
Выполнить сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем.
Самое трудное в указанном алгоритме - это нахождение общего знаменателя. Общим знаменателем должно выступить выражение (одночлен или многочлен), которое делится на каждый из знаменателей исходных дробей без остатка.
Если в условии в заданных дробях знаменатели не представлены в виде произведения множителей, то сначала необходимо чаще всего их на множители разложить и далее найти НОК знаменателей данных дробей.
Алгоритм нахождения общего знаменателя алгебраических дробей
-
Разложить знаменатели на множители.
-
Найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов, имеющихся в знаменателях.
-
Составить произведение буквенных множителей, входящих в состав знаменателей, причем, если некоторый множитель входит в состав нескольких знаменателей, его необходимо взять с наибольшим показателем степени из имеющихся.
-
Составить общий знаменатель, который является произведением числового коэффициента, полученного на $2$ этапе, и буквенной части, полученной на $3$ шаге.
Найти общий знаменатель для дробей $\frac{2xy-1}{4x^3}$ и $\frac{3y-x}{6xy}$
Воспользуемся алгоритмом.
-
Исходные знаменатели уже представляют собой произведение множителей, значит, переходим к шагу $2$.
-
Коэффициенты данных выражений $4$ и $6$ . Найдем их НОК:
$4=2\cdot 2$
$6=2\cdot 3$, тогда $НОК(4,6)=2\cdot 2\cdot 3=12$
-
В состав знаменателей первой и второй дроби входит переменная $x$, но в знаменателе первой дроби показатель степени равен $3(x^3)$, а в знаменателе второй дроби переменная $x$ в первой степени. Поэтому выбираем для общего знаменателя $x^3$. Переменная y входит во второй знаменатель, значит и ее включаем в искомое произведение, которое будет являться общим знаменателем в последствии. Искомое произведение буквенной части будет иметь вид: $x^3y$
-
Составляем общий знаменатель, который является произведением числового коэффициента, полученного на $2$ этапе, и буквенной части, полученной на $3$ шаге: $12x^3y$.
Теперь попробуем выполнить сложение указанных дробей по алгоритму.
Выполнить сложение дробей $\frac{2xy-1}{4x^3}$ и $\frac{3y-x}{6xy}$
-
1шаг нами выполнен в предыдущем примере: общим знаменателем этих двух дробей будет одночлен $12x^3y.$
-
Найти дополнительные множители для каждой из дробей, которые являются произведением множителей, входящих в новый знаменатель и не входящие в старый.
Рисунок 1. -
Вычислить новый числитель для каждой дроби. Для этого надо старый числитель умножить на дополнительный множитель, найденный на $2$ шаге.
Рисунок 2. -
Выполнить сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем
\[\frac{2xу-1}{4x^3} +\frac{3у-x}{6xy}=\frac{6xy^2-3y}{12x^3y}+\frac{6x^2y-\ 2x^3}{12x^3y}= \frac{6xy^2-\ 3y+6x^2y-\ 2x^3}{12x^3y}\]
