С алгебраическими дробями можно проводить любые математические операции, такие как сравнение, сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень.
Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Алгебраические дроби с одинаковыми знаменателями складывают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби:
т.е. при сложении алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо сложить числители исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.
Найти сумму 17b2a+24 b2a
Данные алгебраические дроби являются дробями с одинаковыми знаменателями, поэтому для нахождения их суммы воспользуемся правилом сложения дробей с одинаковым знаменателем, тогда получим
17b2a+24 b2a=17b2+24 b2a=41b2aАлгебраические дроби с одинаковыми знаменателями вычитают по тому же правилу, что и обыкновенные дроби
ad−bd=a−bdт.е. при вычитании алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель уменьшаемой исходных дробей, а знаменатель оставить прежним.
Найти разность двух дробей 16x−4−x2x−4
Исходные алгебраические дроби являются дробями с одинаковыми знаменателями, поэтому для нахождения их разности воспользуемся правилом вычитания дробей с одинаковым знаменателем, тогда получим
16x−4−x2x−4=16−x2x−4Далее заметим, что полученную дробь можно сократить, но для этого сначала необходимо изменить знак в числителе дроби. Чтобы это сделать, вспомним, что для того, чтобы получить тождественное выражение, необходимо воспользоваться следующим свойством:
Если изменить знак числителя или знаменателя дроби, то для получения тождественного выражения необходимо изменить и знак перед дробью. Тогда получим:
16x−4−x2x−4=16−x2x−4=−x2−16x−4Теперь для преобразования дроби воспользуемся формулой разности квадратов, обратив внимание на то, что 16=42, значит указанную формулу сокращенного умножения можно применять для того, чтобы разложить выражение, стоящее в числителе на множители
х2−16=(x−4)(x+4)Тогда получаем
16x−4−x2x−4=16−x2x−4=−x2−16x−4=−(x−4)(x+4)x−4Заметим, что числитель и знаменатель дроби содержит одинаковое выражение х-4, на которое можно сократить дробь
16x−4−x2x−4=−x2−16x−4=−(x−4)(x+4)x−4= −(x+4)=−x−4Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Для сложения и вычитания алгебраических дробей с разными знаменателями выполняют действия, аналогичные тем, которые производят при сложении и вычитании обычных дробей с разными знаменателями.
Алгоритм:
-
Привести дроби к одинаковому знаменателю.
-
Найти дополнительные множители для каждой из дробей, которые являются произведением множителей, входящих в новый знаменатель и не входящие в старый.
-
Вычислить новый числитель для каждой дроби. Для этого надо старый числитель умножить на дополнительный множитель, найденный на 2 шаге.
-
Выполнить сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем.
Самое трудное в указанном алгоритме - это нахождение общего знаменателя. Общим знаменателем должно выступить выражение (одночлен или многочлен), которое делится на каждый из знаменателей исходных дробей без остатка.
Если в условии в заданных дробях знаменатели не представлены в виде произведения множителей, то сначала необходимо чаще всего их на множители разложить и далее найти НОК знаменателей данных дробей.
Алгоритм нахождения общего знаменателя алгебраических дробей
-
Разложить знаменатели на множители.
-
Найти наименьшее общее кратное для числовых коэффициентов, имеющихся в знаменателях.
-
Составить произведение буквенных множителей, входящих в состав знаменателей, причем, если некоторый множитель входит в состав нескольких знаменателей, его необходимо взять с наибольшим показателем степени из имеющихся.
-
Составить общий знаменатель, который является произведением числового коэффициента, полученного на 2 этапе, и буквенной части, полученной на 3 шаге.
Найти общий знаменатель для дробей 2xy−14x3 и 3y−x6xy
Воспользуемся алгоритмом.
-
Исходные знаменатели уже представляют собой произведение множителей, значит, переходим к шагу 2.
-
Коэффициенты данных выражений 4 и 6 . Найдем их НОК:
4=2⋅2
6=2⋅3, тогда НОК(4,6)=2⋅2⋅3=12
-
В состав знаменателей первой и второй дроби входит переменная x, но в знаменателе первой дроби показатель степени равен 3(x3), а в знаменателе второй дроби переменная x в первой степени. Поэтому выбираем для общего знаменателя x3. Переменная y входит во второй знаменатель, значит и ее включаем в искомое произведение, которое будет являться общим знаменателем в последствии. Искомое произведение буквенной части будет иметь вид: x3y
-
Составляем общий знаменатель, который является произведением числового коэффициента, полученного на 2 этапе, и буквенной части, полученной на 3 шаге: 12x3y.
Теперь попробуем выполнить сложение указанных дробей по алгоритму.
Выполнить сложение дробей 2xy−14x3 и 3y−x6xy
-
1шаг нами выполнен в предыдущем примере: общим знаменателем этих двух дробей будет одночлен 12x3y.
-
Найти дополнительные множители для каждой из дробей, которые являются произведением множителей, входящих в новый знаменатель и не входящие в старый.
Рисунок 1. -
Вычислить новый числитель для каждой дроби. Для этого надо старый числитель умножить на дополнительный множитель, найденный на 2 шаге.
Рисунок 2. -
Выполнить сложение или вычитание дробей с одинаковым знаменателем
2xу−14x3+3у−x6xy=6xy2−3y12x3y+6x2y− 2x312x3y=6xy2− 3y+6x2y− 2x312x3y