Основное свойство дроби заключается в том, что числитель и знаменатель алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен или число, отличное от $0$.
Для того чтобы правильно сократить алгебраическую дробь, необходимо помнить, что сокращать слагаемые, находящиеся в числителе со слагаемыми, стоящими в знаменателе, нельзя! Сокращать дробь можно только на одинаковые множители, если таковые имеются в числителе и знаменателе. Часто необходимо применить известные приемы разложения на множители, для того чтобы представить имеющийся многочлен в виде произведения нескольких. Вспомним, что способов разложения на множители многочленов несколько, такие как: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения. Рассмотрим подробнее применение данных приемов для сокращения алгебраических дробей.
Вынесение общего множителя за скобки
Сократить дробь $\frac{2x^2}{2x^2-2x}$
Например, если необходимо сократить дробь $\frac{2x^2}{2x^2-2x}$, то сокращать ее на $2x^2$ нельзя (хотя данный одночлен имеется и в числителе и в знаменателе дроби). Сначала необходимо преобразовать знаменатель путем разложения на множители. Для этого в данном случае мы воспользуемся способом вынесения общего множителя $2x$ за скобки. Тогда $2x^2-2x=2x(x-1).$
Для упрощения данной дроби воспользуемся основным свойством дробей-сокращением, сначала представив знаменатель в виде произведения двух множителей, тогда
\[\frac{2x^2}{2x^2-2x}=\frac{2x^2}{2x(x-1)}=\frac{x}{x-1}\]Сократить дробь $\frac{2а-4}{3а-6}$ .
Сократить данную дробь сразу ни на что нельзя, сначала необходимо разложить числитель и знаменатель дроби на множители и посмотреть, будут ли множители одинаковыми.
Рассмотрим числитель дроби и вынесем в нем общий множитель $2$:
\[2a-4=2(a-2)\]Преобразуем знаменатель дроби путем вынесения общего множителя
\[3a-6=3(a-2)\]Сократим искомую дробь на общий множитель, который является многочленом $a-2$
\[\frac{2a-4}{3a-6}=\frac{2(a-2)}{3(a-2)}=\frac{2}{3}\]Также для упрощения алгебраических дробей часто удобно использовать еще одно свойство:
Если изменить знак числителя или знаменателя дроби, то для получения тождественного выражения необходимо изменить и знак перед дробью.
Сократить дробь $\frac{x-y}{y-x}$
Мы видим, что выражение, стоящее в знаменателе $(y-x)$, отличается от числителя $(x-y)$ только знаками, стоящими перед переменными.Тогда воспользовавшись описанным выше свойством получим:
\[\frac{x-y}{y-x}=\frac{x-y}{-(x-y)}=-\frac{x-y}{x-y}=-1\]Сокращение на степени с одинаковым основанием
Особое внимение необходимо уделить сокращению на переменную, являющимся одночленом в некоторой степени. Вспомним, что делить можно только степени с одинаковым основанием, и при делении степеней с одинаковым основанием основание остается без изменений, а показетели вычитаются ($a^n:a^m=a^{n-m}$)
Сократить дробь $\frac{63a^2b^3}{42a^6b^4}$
Заметим, что эту дробь можно сократить так же, как и обычную дробь на некоторый коэффициент( который является НОД чисел $63$ и $42$), на одночлен $a^2$ и на одночлен $b^3$. Сокращать будем последовательно, чтобы не запутаться в преобразованиях.
Сначала найдем общий множитель на который можно сократить числа $42$ и $63$. Для этого необходимо найти НОД указанных чисел. Для этого представим их в виде произведения простых множителей $42=2\cdot 3 \cdot 7$, $63= 3\cdot 3 \cdot 7$ и найдем НОД: $3:7=21$.Значит данные два числа можно сократить на $21$. Искомая дробь примет тогда вид:
\[\frac{63a^2b^3}{42a^6b^4}=\frac{3a^2b^3}{2a^6b^4}\]Теперь обратим внимание на то, что числитель и знаменатель дроби содержит степень с одинакковым основанием $«a»$. В числителе дроби $a^2$ в знаменателе $a^6$ выберем степень с наименьшим показателем, т.е. $a^2$ и сократим на указанный многочлен. Вспомним, что сокращение - это деление на укзанную величину, тогда в числителе получим $\ 3a^2b^3 : a^2=3b^3$ , а в знаменателе необходимо воспользоваться правилом деления степеней $a^n:a^m=a^{n-m}$, тогда $a^6{:a}^2=a^{6-2}=a^4$
\[\frac{63a^2b^3}{42a^6b^4}=\frac{3b^3}{2a^4b^4}\]Аналогично произведем сокращение на степень с одинаковым основанием, т.е. на $b^3$. В знаменателе по указанному выше правилу деления степеней с одинаковым оснванием $b^4{:b}^3=b^{4-3}=b^1=b$
\[\frac{63a^2b^3}{42a^6b^4}=\frac{3a^2b^3}{2a^6b^4}=\frac{3b^3}{2a^4b^4}=\frac{3}{2a^4b}\]Использование формул сокращенного умножения
Для преобразовния многочленов в числителе и знамнателе дроби используются также формулы сокращенного умножения.
Сократить дробь $\frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}$
Сразу данную дробь сократить нельзя, необходимо преобразовать числитель и знаменатель.
Рассмотрим выражение, стоящее в знаментеле дроби, и разложим многочлен на множители с помощью вынесения общего множителя $x$ за скобки $x^2-2x=x(x-2)$.
\[\frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}=\frac{x^2-4x+4}{x(x-2)}\]Преобразуем выражние, стоящее в числителе дроби, для этого воспользуемся формулой квадрата разности:$a^2-2ab+b^2={(a-b)}^2$
\[x^2-4x+4=x^2-2\cdot 2\cdot x+2^2={(x-2)}^2\]Дробь имеет вид
\[\frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}=\frac{x^2-4x+4}{x(x-2)}=\frac{{(x-2)}^2}{x(x-2)}=\frac{\left(x-2\right)(x-2)}{x(x-2)}\]Теперь мы видим, что в числителе и в знаменателе есть общий множитель --это выражение $x-2$, на которое произведем сокращение дроби
\[\frac{x^2-4x+4}{x^2-2x}=\frac{x^2-4x+4}{x(x-2)}=\frac{{(x-2)}^2}{x(x-2)}=\frac{\left(x-2\right)(x-2)}{x(x-2)}=\frac{x-2}{x}\]
