Понятие многочлена
Одночлен -- это числа, переменные, их степени и произведения.
Многочлен -- это сумма одночленов.
Пример: ${31xy}^5+y^6+{3xz}^5$.
Члены многочлена -- это все одночлены, входящие в многочлен.
Стандартный вид одночлена -- запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.
Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.
Степень одночлена -- сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.
Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.
Для понятия многочлена нескольких переменных можно выделить частные случаи: двучлен и трехчлен.
Двучлен -- многочлен, состоящий из двух членов.
Пример: ${6b}^6+{13aс}^5$.
Трехчлен -- многочлен, состоящий из трех членов.
Пример: ${xy}^5+y^6+{xz}^5$
Над многочленами можно проводить следующие действия: многочлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать многочлен на одночлен.
Сумма многочленов
Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.
Сложим многочлены ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ и ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:
\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)+({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]Раскроем скобки:
\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5+{6y}^6-{xy}^5+{3x}^5\]Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
\[{2xy}^5+\ {12y}^6+{16x}^5\]Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.
Разность многочленов
Многочлены можно вычитать друг из друга. Рассмотрим пример
Вычтем из многочлена ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ многочлен ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$.
Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:
\[\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)-({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)\]Раскроем скобки:
Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.
\[{3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5-{6y}^6+{xy}^5-{3x}^5\]Приведем подобные слагаемые, в результате получим:
\[{4xy}^5+{10x}^5\]Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.
Произведения одночлена и многочлена
В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.
Схема умножения одночлена на многочлен.
- составляется произведение.
- раскрываются скобки. Для того чтобы раскрыть скобки, при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
- группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
- перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.
Умножим одночлен $(-m^2n)$ на многочлен $(m^2n^2-m^2-n^2)$
Решение.
Составим произведение:
\[(-m^2n\ )\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)\]Раскроем скобки:
\[\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\ )\cdot (-n^2)\]Перемножив, получим:
\[-m^4n^3+m^4n\ +{m^2n}^3\]Произведение двух многочленов
Правило умножения многочлена на многочлен: Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлен, сложить полученные произведения и полученный многочлен привести к стандартному виду.
Умножим многочлен $\left(1-4x^2\right)\ на\ многочлен\ (5y^2-3x-2)$
Составим произведение:
\[(1-4x^2)\cdot (5y^2-3x-2)\]Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
\[5y^2-3x-2-20x^2y^2+12x^3+8x^2\]Видим, что полученный многочлен имеет стандартный вид, следовательно:
Ответ: $5y^2-3x-2-20x^2y^2+12x^3+8x^2$.
Примеры задач на многочлены от нескольких переменных
Перемножить многочлены $(a^2+b+1)\ и\ (a^2-24b+6)$ и полученный результат привести к стандартному виду.
Решение.
Составим произведение:
\[(a^2+b+1)\cdot (a^2-24b+6)\]Раскроем скобки по правилу произведения многочленов:
\[a^4-24a^2b+6a^2+a^2b-24b^2+6b+a^2-24b+6\]Приведем данный многочлен к стандартному виду:
\[a^4-23a^2b+7a^2-24b^2-18b+6\]Ответ: $a^4-23a^2b+7a^2-24b^2-18b+6$.
