Многочлены от нескольких переменных

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Понятие многочлена

Определение 1

Одночлен -- это числа, переменные, их степени и произведения.

Определение 2

Многочлен -- это сумма одночленов.

Пример: ${31xy}^5+y^6+{3xz}^5$ .

Определение 3

Члены многочлена -- это все одночлены, входящие в многочлен.

Определение 4

Стандартный вид одночлена -- запись одночлена в виде произведения числа и натуральных степеней переменных, входящих в одночлен.

Определение 5

Многочленом стандартного вида называют многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, который не имеет подобных членов.

Определение 6

Степень одночлена -- сумма всех степеней переменных, входящих в одночлен.

Определение 7

Степень многочлена стандартного вида -- наибольшая степень из степеней входящих в него одночленов.

Для понятия многочлена нескольких переменных можно выделить частные случаи: двучлен и трехчлен.

Определение 8

Двучлен -- многочлен, состоящий из двух членов.

Пример: ${6b}^6+{13aс}^5$ .

Определение 9

Трехчлен -- многочлен, состоящий из трех членов.

Пример: ${xy}^5+y^6+{xz}^5$

«Многочлены от нескольких переменных» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Над многочленами можно проводить следующие действия: многочлены можно складывать друг с другом и вычитать друг из друга, перемножать между собой, а также умножать многочлен на одночлен.

Сумма многочленов

Многочлены можно складывать друг с другом. Рассмотрим следующий пример.

Пример 1

Сложим многочлены ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ и ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как сумму:

$\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)+({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)$

Раскроем скобки:

${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5+{6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

${2xy}^5+\ {12y}^6+{16x}^5$

Видим, что результатом суммы этих двух многочленов получили также многочлен.

Разность многочленов

Многочлены можно вычитать друг из друга. Рассмотрим пример

Пример 2

Вычтем из многочлена ${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5$ многочлен ${6y}^6-{xy}^5+{3x}^5$ .

Первым шагом нам необходимо записать эти многочлены как разность:

$\left({3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5\right)-({6y}^6-{xy}^5+{3x}^5)$

Раскроем скобки:

Напомним, что если перед скобками стоит знак минус, то, при раскрытии скобок, знаки в скобках будут меняться на противоположные.

${3xy}^5+\ {6y}^6+{13x}^5-{6y}^6+{xy}^5-{3x}^5$

Приведем подобные слагаемые, в результате получим:

${4xy}^5+{10x}^5$

Видим, что результатом разности этих двух многочленов получили также многочлен.

Произведения одночлена и многочлена

В результате перемножения одночлена с многочленом всегда получается многочлен.

Схема умножения одночлена на многочлен.

составляется произведение.
раскрываются скобки. Для того чтобы раскрыть скобки, при умножении необходимо перемножить каждый одночлен на каждый член многочлена и сложить их между собой.
группируются числа с числами, одинаковые переменные друг с другом.
перемножаются числа и складываются степени соответствующих одинаковых переменных.

Пример 3

Умножим одночлен $(-m^2n)$ на многочлен $(m^2n^2-m^2-n^2)$

Решение.

Составим произведение:

$(-m^2n\ )\cdot (m^2n^2-m^2-n^2)$

Раскроем скобки:

$\left(-m^2n\ \right)\cdot m^2n^2+\left(-m^2n\ \right)\cdot (-m^2)+(-m^2n\ )\cdot (-n^2)$

Перемножив, получим:

$-m^4n^3+m^4n\ +{m^2n}^3$

Произведение двух многочленов

Правило умножения многочлена на многочлен: Для того, чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо каждый член первого многочлена умножить на каждый член второго многочлен, сложить полученные произведения и полученный многочлен привести к стандартному виду.

Пример 4

Умножим многочлен $\left(1-4x^2\right)\ на\ многочлен\ (5y^2-3x-2)$