Разместить заказ
Вы будете перенаправлены на Автор24

Подкоренные выражения: как решать

8-800-775-03-30 support@author24.ru
Статья предоставлена специалистами сервиса Автор24
Автор24 - это сообщество учителей и преподавателей, к которым можно обратиться за помощью с выполнением учебных работ.
как работает сервис
Все предметы / Математика / Подкоренные выражения: как решать
Подкоренные выражения: как решать

Понятие корня

Тема о подкоренных выражениях относится к курсу алгебры. Будем считать, что понятие степени читателю уже известно. Понятие корня актуально, когда речь идёт примерах с иррациональными числами. Такие примеры встречаются и в курсе геометрии и даже могут описывать длины. Но перейдём к определениям.

Решение подкоренных выражений строится на знании и применении свойств корня. Для начала, приведём определение корня.

Определение 1

Корень $n$-ой степени из числа $a$, то есть $\sqrt[n]a$ - это число, которое будучи возведено в степень $n$, даёт $a$.

Из данного определения следует свойство $(\sqrt[n]a)^n=a$.

Пример 1

$\sqrt[11]{2048}=2$.

Свойства корня с примерами

Основное свойство корня: величина корня не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же число. Отсюда следует, что корни разных степеней можно привести к одинаковым показателям.

Приведём простой пример.

Пример 2

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 1. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Также имеются следующее свойства:

Свойства. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 2. Свойства. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Свойства. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Свойства. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Свойства. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Свойства. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решим простые примеры.

Пример 3

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 4

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Преобразования корней

При решении корней кроме вышеуказанных свойств применяют простейшие преобразования, такие как

  • вынесение множителей за знак корня

Вынесение множителей за знак корня. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 7. Вынесение множителей за знак корня. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

  • подведение множителей под знак корня

Подведение множителей под знак корня. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 8. Подведение множителей под знак корня. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

  • освобождение подкоренного выражения от знаменателей.

Для последнего случая приведём пример с числами:

Освобождение подкоренного выражения от знаменателей. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 9. Освобождение подкоренного выражения от знаменателей. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим пример, в котором показывается как происходит освобождение знаменателя дроби от корней.

Пример 5

Имеем:

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 10. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Произведём умножение членов дробей на $\sqrt5$:

Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 11. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример решения

На практике необходимо помнить все перечисленные свойства и преобразования корней, а также свойства степеней, которые, как мы условились, читателю уже известны. Решим типичный пример, который встречается, например, в ЕГЭ.

Пример 6

Нужно вычислить выражение: $9+\sqrt[6]{2\sqrt5-3\sqrt3}\cdot\sqrt[6]{47+12\sqrt{15}}\cdot\sqrt[3]{49}$.

$9+\sqrt[6]{(2\sqrt5-3\sqrt3)^2\cdot(47+12\sqrt{15})}\cdot\sqrt[3]{7^2}=9+\sqrt[6]{(20-12\sqrt{15}+27)\cdot(47+12\sqrt{15})\cdot7^4}=9+\sqrt[6]{(2209-2160)}\cdot\sqrt[3]{7^2}=9+\sqrt[6]{7^2}\cdot\sqrt[3]{7^2}=9+\sqrt[3]{7\cdot7^2}=9+7=16.$