Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Рациональные дроби, простейшие рациональные дроби и их интегрирование

Определение 1

Рациональная дробь (рациональная функция) -- это отношение двух многочленов Pm(x) и Qn(x) степеней m и n соответственно:

R(x)=Pm(x)Qn(x)=a0xm+a1xm1+...+am1x+amb0xn+b1xn1+...+bn1x+bn,a00,b00.
Определение 2

Дробь Pm(x)Qn(x) называется правильной рациональной дробью, если $m

Примечание 1

В случае, когда имеется неправильная рациональная дробь, то ее можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов:

Pm(x)Qn(x)=M(x)+Fk(x)Qn(x).
Пример 1

Определить тип рациональной дроби. В случае неправильной дроби выполнить деление.

x43x2+2x+1

Решение:

Так как степень числителя больше степени знаменателя, то имеем неправильную дробь.

Разделим числитель на знаменатель и получим:

x43x2+2x+1=x22x+34x+6x2+2x+1.
Определение 3

Правильные рациональные дроби вида:

I. Axa,

II. A(xa)k,kZ,k2,

III. $\frac{Ax+B}{x^{2} +px+q} ,\, \, \, \frac{p^{2} }{4} -q

IV. $\frac{Ax+B}{(x^{2} +px+q)^{k} } ,\, \, \, \, \frac{p^{2} }{4} -q

называются простейшими дробям I, II, III и IV типов.

Пример 2

Определить тип простейшей рациональной дроби:

1) 5x1; 2) x+1x2+x+3; 3) x+1(x2+x+3)4; 4) 5(x1)2.

Решение:

1) 5x1 - рациональная дробь I типа (по определению 3);

2) x+1x2+x+3- рациональная дробь III типа (по определению 3);

3) x+1(x2+x+3)4- рациональная дробь IV типа (по определению 3);

4) 5(x1)2 - рациональная дробь II типа (по определению 3).

«Рациональные дроби, простейшие рациональные дроби и их интегрирование» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Рассмотрим интегрирование рациональных дробей I, II и III типов в общем виде.

Интегрирование дробей I типа:

Пример 3

Выполнить интегрирование:

3x1dx.

Решение:

3x1dx=3d(x1)x1=3ln|x1|+C

Интегрирование дробей II типа:

Пример 4

Выполнить интегрирование:

3(x1)2dx.

Решение:

3(x1)2dx=3d(x1)(x1)2=3(x1)11+C=3x1+C

Интегрирование дробей III типа:

Ax+Bx2+px+qdx=A2(2x+p)+(BAp2)x2+px+qdx=A22x+px2+px+qdx+(BAp2)1x2+px+qdx==A2ln|x2+px+q|+(BAp2)1(x+p2)2+(qp24)dx=A2ln|x2+px+q|++2BAp4pp2arctg2x+p4pp2+C

Пример 5

Выполнить интегрирование:

x+1x2+2x+3dx.

Решение:

x+1x2+2x+3dx=x+1(x+1)2+2dx=12d((x+1)2+2)(x+1)2+2dx=12ln|x2+2x+3|+C

Интегрирование дробей IV типа:

Пример 6

Для вычисления первого интеграла используется подстановка

x2+px+q=t,(2x+p)dx=dt.
2x+p(x2+px+q)kdx=dttk=tkdt=tk+11k+C=1(1k)(x2+px+q)k1+C

Вычислим второй интеграл. Обозначим его через Ik и запишем в виде

Ik=dx(x2+px+q)k=dx[(x+p2)2+(qp24)]k=dt(t2+m2)k,(x+p2=t,dx=dt,qp24=m2)Ik=dt(t2+m2)k=1m2(t2+m2)t2(t2+m2)kdt=1m2dt(t2+m2)k11m2t2(t2+m2)kdt (1)

Далее преобразуем последний интеграл:

t2(t2+m2)kdt=tt(t2+m2)kdt=12td(t2+m2)(t2+m2)k=12(k1)td(1(t2+m2)k1)

Интегрируя по частям, получаем:

t2(t2+m2)kdt=12(k1)[t1(t2+m2)k1dt(t2+m2)k1]

Подставим в выражение выше равенство (1) и получим:

Ik=dt(t2+m2)k=1m2dt(t2+m2)k1+1m212(k1)[t1(t2+m2)k1dt(t2+m2)k1]==t2m2(k1)(t2+m2)k1+2k+32m2(k1)dt(t2+m2)k1

В правой части имеется интеграл того же типа, что и Ik с показателем степени знаменателя подынтегральной функции на 1 ниже k1. Следовательно, интеграл Ik выразили через Ik1.

Продолжая дальше, получим:

I1=dtt2+m2=1marctgtm+C.

Подставляя везде вместо t и m их значения, получим выражение интеграла IV типа через x и заданные числа A,B,p,q.

Пример 7

Выполнить интегрирование:

x1(x2+2x+3)2dx.

Решение:

x1(x2+2x+3)2dx=12(2x+2)+(11)(x2+2x+3)2dx=122x+2(x2+2x+3)2dx21(x2+2x+3)2dx=
=121(x2+2x+3)221(x2+2x+3)2dx

К последнему интегралу применим следующую подстановку x+1=t:

1(x2+2x+3)2dx=dx[(x+1)2+2]2=dt(t2+2)2=12(t2+2)t2(t2+2)2dt=12dtt2+212t2dtt2+2==1212arctgt212t2dt(t2+2)2Вычислим последний интеграл:

t2dt(t2+2)2=12td(t2+2)(t2+2)2=12td(1t2+2)=12tt2+2+12dtt2+2=12tt2+2++122arctgt2

(примечание: произвольная постоянная будет учтена в записи окончательного результата)

1(x2+2x+3)2dx=122arctgx+1212[x+12(x2+2x+3)122arctgx+12]

Окончательный результат:

1(x2+2x+3)2dx=x+22(x2+2x+3)+24arctgx+12+C.
Дата последнего обновления статьи: 16.02.2025
Получи помощь с рефератом от ИИ-шки
ИИ ответит за 2 минуты
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Рациональные дроби, простейшие рациональные дроби и их интегрирование"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant