Рациональная дробь (рациональная функция) -- это отношение двух многочленов Pm(x) и Qn(x) степеней m и n соответственно:
R(x)=Pm(x)Qn(x)=a0xm+a1xm−1+...+am−1x+amb0xn+b1xn−1+...+bn−1x+bn,a0≠0,b0≠0.Дробь Pm(x)Qn(x) называется правильной рациональной дробью, если $m
В случае, когда имеется неправильная рациональная дробь, то ее можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов:
Pm(x)Qn(x)=M(x)+Fk(x)Qn(x).Определить тип рациональной дроби. В случае неправильной дроби выполнить деление.
x4−3x2+2x+1Решение:
Так как степень числителя больше степени знаменателя, то имеем неправильную дробь.
Разделим числитель на знаменатель и получим:
x4−3x2+2x+1=x2−2x+3−4x+6x2+2x+1.Правильные рациональные дроби вида:
I. Ax−a,
II. A(x−a)k,k∈Z,k≥2,
III. $\frac{Ax+B}{x^{2} +px+q} ,\, \, \, \frac{p^{2} }{4} -q
IV. $\frac{Ax+B}{(x^{2} +px+q)^{k} } ,\, \, \, \, \frac{p^{2} }{4} -q
называются простейшими дробям I, II, III и IV типов.
Определить тип простейшей рациональной дроби:
1) 5x−1; 2) x+1x2+x+3; 3) x+1(x2+x+3)4; 4) 5(x−1)2.
Решение:
1) 5x−1 - рациональная дробь I типа (по определению 3);
2) x+1x2+x+3- рациональная дробь III типа (по определению 3);
3) x+1(x2+x+3)4- рациональная дробь IV типа (по определению 3);
4) 5(x−1)2 - рациональная дробь II типа (по определению 3).
Рассмотрим интегрирование рациональных дробей I, II и III типов в общем виде.
Интегрирование дробей I типа:
Интегрирование дробей II типа:
Выполнить интегрирование:
∫3(x−1)2dx.Решение:
∫3(x−1)2dx=3⋅∫d(x−1)(x−1)2=3⋅(x−1)−1−1+C=−3x−1+CИнтегрирование дробей III типа:
∫Ax+Bx2+px+qdx=∫A2(2x+p)+(B−Ap2)x2+px+qdx=A2⋅∫2x+px2+px+qdx+(B−Ap2)⋅∫1x2+px+qdx==A2⋅ln|x2+px+q|+(B−Ap2)⋅∫1(x+p2)2+(q−p24)dx=A2⋅ln|x2+px+q|++2B−Ap√4p−p2⋅arctg2x+p√4p−p2+C
Выполнить интегрирование:
∫x+1x2+2x+3dx.Решение:
∫x+1x2+2x+3dx=∫x+1(x+1)2+2dx=12⋅∫d((x+1)2+2)(x+1)2+2dx=12⋅ln|x2+2x+3|+CИнтегрирование дробей IV типа:
Для вычисления первого интеграла используется подстановка
x2+px+q=t,(2x+p)dx=dt.Вычислим второй интеграл. Обозначим его через Ik и запишем в виде
Ik=∫dx(x2+px+q)k=∫dx[(x+p2)2+(q−p24)]k=∫dt(t2+m2)k,(x+p2=t,dx=dt,q−p24=m2)Ik=∫dt(t2+m2)k=1m2⋅∫(t2+m2)−t2(t2+m2)kdt=1m2⋅∫dt(t2+m2)k−1−1m2⋅∫t2(t2+m2)kdt (1)
Далее преобразуем последний интеграл:
∫t2(t2+m2)kdt=∫t⋅t(t2+m2)kdt=12⋅∫t⋅d(t2+m2)(t2+m2)k=−12(k−1)⋅∫t⋅d(1(t2+m2)k−1)Интегрируя по частям, получаем:
∫t2(t2+m2)kdt=−12(k−1)⋅[t⋅1(t2+m2)k−1−∫dt(t2+m2)k−1]Подставим в выражение выше равенство (1) и получим:
Ik=∫dt(t2+m2)k=1m2⋅∫dt(t2+m2)k−1+1m2⋅12(k−1)⋅[t⋅1(t2+m2)k−1−∫dt(t2+m2)k−1]==t2m2(k−1)(t2+m2)k−1+2k+32m2(k−1)⋅∫dt(t2+m2)k−1В правой части имеется интеграл того же типа, что и Ik с показателем степени знаменателя подынтегральной функции на 1 ниже k−1. Следовательно, интеграл Ik выразили через Ik−1.
Продолжая дальше, получим:
I1=∫dtt2+m2=1marctgtm+C.Подставляя везде вместо t и m их значения, получим выражение интеграла IV типа через x и заданные числа A,B,p,q.
Выполнить интегрирование:
∫x−1(x2+2x+3)2dx.Решение:
∫x−1(x2+2x+3)2dx=∫12(2x+2)+(−1−1)(x2+2x+3)2dx=12⋅∫2x+2(x2+2x+3)2dx−2⋅∫1(x2+2x+3)2dx=К последнему интегралу применим следующую подстановку x+1=t:
∫1(x2+2x+3)2dx=∫dx[(x+1)2+2]2=∫dt(t2+2)2=12⋅∫(t2+2)−t2(t2+2)2dt=12⋅∫dtt2+2−12⋅∫t2dtt2+2==12⋅1√2⋅arctgt√2−12⋅∫t2dt(t2+2)2Вычислим последний интеграл:
∫t2dt(t2+2)2=12⋅∫td(t2+2)(t2+2)2=−12⋅∫td(1t2+2)=−12⋅tt2+2+12⋅∫dtt2+2=−12⋅tt2+2++12√2⋅arctgt√2(примечание: произвольная постоянная будет учтена в записи окончательного результата)
∫1(x2+2x+3)2dx=12√2⋅arctgx+1√2−12⋅[−x+12⋅(x2+2x+3)−12√2⋅arctgx+1√2]Окончательный результат:
∫1(x2+2x+3)2dx=−x+22⋅(x2+2x+3)+√24⋅arctgx+1√2+C.