Рациональная дробь (рациональная функция) -- это отношение двух многочленов $P_{m} (x)$ и $Q_{n} (x)$ степеней $m$ и $n$ соответственно:
\[R(x)=\frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} =\frac{a_{0} x^{m} +a_{1} x^{m-1} +...+a_{m-1} x+a_{m} }{b_{0} x^{n} +b_{1} x^{n-1} +...+b_{n-1} x+b_{n} } ,\, \, a_{0} \ne 0,b_{0} \ne 0.\]Дробь $\frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} $ называется правильной рациональной дробью, если $m
В случае, когда имеется неправильная рациональная дробь, то ее можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов:
\[\frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} =M(x)+\frac{F_{k} (x)}{Q_{n} (x)} .\]Определить тип рациональной дроби. В случае неправильной дроби выполнить деление.
\[\frac{x^{4} -3}{x^{2} +2x+1} \]Решение:
Так как степень числителя больше степени знаменателя, то имеем неправильную дробь.
Разделим числитель на знаменатель и получим:
\[\frac{x^{4} -3}{x^{2} +2x+1} =x^{2} -2x+3-\frac{4x+6}{x^{2} +2x+1} .\]Правильные рациональные дроби вида:
I. $\frac{A}{x-a} $,
II. $\frac{A}{(x-a)^{k} } ,\, \, k\in Z,\, \, k\ge 2$,
III. $\frac{Ax+B}{x^{2} +px+q} ,\, \, \, \frac{p^{2} }{4} -q
IV. $\frac{Ax+B}{(x^{2} +px+q)^{k} } ,\, \, \, \, \frac{p^{2} }{4} -q
называются простейшими дробям I, II, III и IV типов.
Определить тип простейшей рациональной дроби:
1) $\frac{5}{x-1} $; 2) $\frac{x+1}{x^{2} +x+3} $; 3) $\frac{x+1}{(x^{2} +x+3)^{4} } $; 4) $\frac{5}{(x-1)^{2} } $.
Решение:
1) $\frac{5}{x-1} $ - рациональная дробь I типа (по определению 3);
2) $\frac{x+1}{x^{2} +x+3} $- рациональная дробь III типа (по определению 3);
3) $\frac{x+1}{(x^{2} +x+3)^{4} } $- рациональная дробь IV типа (по определению 3);
4) $\frac{5}{(x-1)^{2} } $ - рациональная дробь II типа (по определению 3).
Рассмотрим интегрирование рациональных дробей I, II и III типов в общем виде.
Интегрирование дробей I типа:
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{3}{x-1} dx .\]Решение:
\[\int \frac{3}{x-1} dx =3\cdot \int \frac{d(x-1)}{x-1} =3\cdot \ln |x-1|+C\]Интегрирование дробей II типа:
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{3}{(x-1)^{2} } dx .\]Решение:
\[\int \frac{3}{(x-1)^{2} } dx =3\cdot \int \frac{d(x-1)}{(x-1)^{2} } =3\cdot \frac{(x-1)^{-1} }{-1} +C=-\frac{3}{x-1} +C\]Интегрирование дробей III типа:
$\begin{array}{l} {\int \frac{Ax+B}{x^{2} +px+q} dx =\int \frac{\frac{A}{2} (2x+p)+\left(B-\frac{Ap}{2} \right)}{x^{2} +px+q} dx =\frac{A}{2} \cdot \int \frac{2x+p}{x^{2} +px+q} dx +\left(B-\frac{Ap}{2} \right)\cdot \int \frac{1}{x^{2} +px+q} dx =} \\ {=\frac{A}{2} \cdot \ln |x^{2} +px+q|+\left(B-\frac{Ap}{2} \right)\cdot \int \frac{1}{\left(x+\frac{p}{2} \right)^{2} +\left(q-\frac{p^{2} }{4} \right)} dx =\frac{A}{2} \cdot \ln |x^{2} +px+q|+} \\ {+\frac{2B-Ap}{\sqrt{4p-p^{2} } } \cdot arctg\frac{2x+p}{\sqrt{4p-p^{2} } } +C} \end{array}$
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{x+1}{x^{2} +2x+3} dx .\]Решение:
\[\int \frac{x+1}{x^{2} +2x+3} dx =\int \frac{x+1}{(x+1)^{2} +2} dx =\frac{1}{2} \cdot \int \frac{d((x+1)^{2} +2)}{(x+1)^{2} +2} dx =\frac{1}{2} \cdot \ln |x^{2} +2x+3|+C\]Интегрирование дробей IV типа:
Для вычисления первого интеграла используется подстановка
\[x^{2} +px+q=t,\, (2x+p)dx=dt.\] \[\int \frac{2x+p}{(x^{2} +px+q)^{k} } dx =\int \frac{dt}{t^{k} } =\int t^{-k} dt =\frac{t^{-k+1} }{1-k} +C=\frac{1}{(1-k)(x^{2} +px+q)^{k-1} } +C\]Вычислим второй интеграл. Обозначим его через $I_{k} $ и запишем в виде
$I_{k} =\int \frac{dx}{(x^{2} +px+q)^{k} } =\int \frac{dx}{\left[\left(x+\frac{p}{2} \right)^{2} +\left(q-\frac{p^{2} }{4} \right)\right]^{k} } =\int \frac{dt}{(t^{2} +m^{2} )^{k} } ,\, \, \left(x+\frac{p}{2} =t,dx=dt,q-\frac{p^{2} }{4} =m^{2} \right) $$I_{k} =\int \frac{dt}{(t^{2} +m^{2} )^{k} } =\frac{1}{m^{2} } \cdot \int \frac{(t^{2} +m^{2} )-t^{2} }{(t^{2} +m^{2} )^{k} } dt =\frac{1}{m^{2} } \cdot \int \frac{dt}{(t^{2} +m^{2} )^{k-1} } -\frac{1}{m^{2} } \cdot \int \frac{t^{2} }{(t^{2} +m^{2} )^{k} } dt $ (1)
Далее преобразуем последний интеграл:
\[\int \frac{t^{2} }{(t^{2} +m^{2} )^{k} } dt =\int \frac{t\cdot t}{(t^{2} +m^{2} )^{k} } dt =\frac{1}{2} \cdot \int t\cdot \frac{d(t^{2} +m^{2} )}{(t^{2} +m^{2} )^{k} } =-\frac{1}{2(k-1)} \cdot \int t\cdot d\left(\frac{1}{(t^{2} +m^{2} )^{k-1} } \right) \]Интегрируя по частям, получаем:
\[\int \frac{t^{2} }{(t^{2} +m^{2} )^{k} } dt =-\frac{1}{2(k-1)} \cdot \left[t\cdot \frac{1}{(t^{2} +m^{2} )^{k-1} } -\int \frac{dt}{(t^{2} +m^{2} )^{k-1} } \right]\]Подставим в выражение выше равенство (1) и получим:
\[\begin{array}{l} {I_{k} =\int \frac{dt}{(t^{2} +m^{2} )^{k} } =\frac{1}{m^{2} } \cdot \int \frac{dt}{(t^{2} +m^{2} )^{k-1} } +\frac{1}{m^{2} } \cdot \frac{1}{2(k-1)} \cdot \left[t\cdot \frac{1}{(t^{2} +m^{2} )^{k-1} } -\int \frac{dt}{(t^{2} +m^{2} )^{k-1} } \right]=} \\ {=\frac{t}{2m^{2} (k-1)(t^{2} +m^{2} )^{k-1} } +\frac{2k+3}{2m^{2} (k-1)} \cdot \int \frac{dt}{(t^{2} +m^{2} )^{k-1} } } \end{array}\]В правой части имеется интеграл того же типа, что и $I_{k} $ с показателем степени знаменателя подынтегральной функции на 1 ниже $k-1$. Следовательно, интеграл $I_{k} $ выразили через $I_{k-1} $.
Продолжая дальше, получим:
\[I_{1} =\int \frac{dt}{t^{2} +m^{2} } =\frac{1}{m} arctg\frac{t}{m} +C.\]Подставляя везде вместо $t$ и $m$ их значения, получим выражение интеграла IV типа через $x$ и заданные числа $A,B,p,q$.
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{x-1}{(x^{2} +2x+3)^{2} } dx .\]Решение:
\[\int \frac{x-1}{(x^{2} +2x+3)^{2} } dx =\int \frac{\frac{1}{2} (2x+2)+(-1-1)}{(x^{2} +2x+3)^{2} } dx =\frac{1}{2} \cdot \int \frac{2x+2}{(x^{2} +2x+3)^{2} } dx -2\cdot \int \frac{1}{(x^{2} +2x+3)^{2} } dx =\] \[=-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(x^{2} +2x+3)^{2} } -2\cdot \int \frac{1}{(x^{2} +2x+3)^{2} } dx \]К последнему интегралу применим следующую подстановку $x+1=t$:
$\begin{array}{l} {\int \frac{1}{(x^{2} +2x+3)^{2} } dx =\int \frac{dx}{[(x+1)^{2} +2]^{2} } =\int \frac{dt}{(t^{2} +2)^{2} } =\frac{1}{2} \cdot \int \frac{(t^{2} +2)-t^{2} }{(t^{2} +2)^{2} } dt =\frac{1}{2} \cdot \int \frac{dt}{t^{2} +2} -\frac{1}{2} \cdot \int \frac{t^{2} dt}{t^{2} +2} =} \\ {=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2} } \cdot arctg\frac{t}{\sqrt{2} } -\frac{1}{2} \cdot \int \frac{t^{2} dt}{(t^{2} +2)^{2} } } \end{array}$Вычислим последний интеграл:
\[\begin{array}{l} {\int \frac{t^{2} dt}{(t^{2} +2)^{2} } =\frac{1}{2} \cdot \int \frac{td(t^{2} +2)}{(t^{2} +2)^{2} } =-\frac{1}{2} \cdot \int td\left(\frac{1}{t^{2} +2} \right) =-\frac{1}{2} \cdot \frac{t}{t^{2} +2} +\frac{1}{2} \cdot \int \frac{dt}{t^{2} +2} =-\frac{1}{2} \cdot \frac{t}{t^{2} +2} +} \\ {+\frac{1}{2\sqrt{2} } \cdot arctg\frac{t}{\sqrt{2} } } \end{array}\](примечание: произвольная постоянная будет учтена в записи окончательного результата)
\[\int \frac{1}{(x^{2} +2x+3)^{2} } dx =\frac{1}{2\sqrt{2} } \cdot arctg\frac{x+1}{\sqrt{2} } -\frac{1}{2} \cdot \left[-\frac{x+1}{2\cdot (x^{2} +2x+3)} -\frac{1}{2\sqrt{2} } \cdot arctg\frac{x+1}{\sqrt{2} } \right]\]Окончательный результат:
\[\int \frac{1}{(x^{2} +2x+3)^{2} } dx =-\frac{x+2}{2\cdot (x^{2} +2x+3)} +\frac{\sqrt{2} }{4} \cdot arctg\frac{x+1}{\sqrt{2} } +C.\]
