Рациональная дробь (рациональная функция) -- это отношение двух многочленов $P_{m} (x)$ и $Q_{n} (x)$ степеней $m$ и $n$ соответственно:
\[R(x)=\frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} =\frac{a_{0} x^{m} +a_{1} x^{m-1} +...+a_{m-1} x+a_{m} }{b_{0} x^{n} +b_{1} x^{n-1} +...+b_{n-1} x+b_{n} } ,\, \, a_{0} \ne 0,b_{0} \ne 0.\]Дробь $\frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} $ называется правильной рациональной дробью, если $m
В случае, когда имеется неправильная рациональная дробь, то ее можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби путем деления числителя на знаменатель по правилу деления многочленов:
\[\frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} =M(x)+\frac{F_{k} (x)}{Q_{n} (x)} .\]Правильные рациональные дроби вида:
I. $\frac{A}{x-a} $,
II. $\frac{A}{(x-a)^{k} } ,\, \, k\in Z,\, \, k\ge 2$,
III. $\frac{Ax+B}{x^{2} +px+q} ,\, \, \, \frac{p^{2} }{4} -q
IV. $\frac{Ax+B}{(x^{2} +px+q)^{k} } ,\, \, \, \, \frac{p^{2} }{4} -q
называются простейшими дробям I, II, III и IV типов.
Рассмотрим нахождение интеграла от рациональной дроби $\frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} $, т.е.
Алгоритм нахождения интеграла от рациональной дроби следующий:
- Если дробь, стоящая в подынтегральном выражении, является неправильной, то необходимо преобразовать эту дробь в правильную дробь, выделив путем деления многочленов целое выражение.
- Знаменатель полученной дроби необходимо разложить на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений.
- Полученную рациональную дробь необходимо разложить на простейшие дроби, методом неопределенных коэффициентов.
- Вычислить интегралы от полученных простейших дробей.
Вид простейших дробей определяется корнями знаменателя рациональной дроби.
Возможны несколько случаев (1 и 2 самые простые -- распишем подробно):
1 случай:
Корни знаменателя дроби являются действительными и все различны. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I типа.
Так как $Q_{n} (x)=(x-a)(x-b)...(x-d)$, то
Искомый интеграл
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{2}{x+1} dx .\]Решение:
\[\int \frac{2}{x+1} dx =2\cdot \int \frac{d(x+1)}{x+1} =2\cdot \ln |x+1|+C\]Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{2}{(x-1)(x+1)} dx .\]Решение:
Записывается разложение дроби на простейшие в общем виде:
\[\frac{2}{(x-1)(x+1)} =\frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+1} \]Записываем сумму простейших дробей в виде рациональной дроби с неопределенными коэффициентами:
\[\frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+1} =\frac{A(x+1)+B(x-1)}{(x+1)(x-1)} =\frac{Ax+A+Bx-B}{(x+1)(x-1)} =\frac{(A+B)x+(A-B)}{(x+1)(x-1)} \]Приравниваем полученную дробь и исходную дробь:
\[\frac{2}{(x-1)(x+1)} =\frac{(A+B)x+(A-B)}{(x+1)(x-1)} \]Решаем систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов:
\[\left\{\begin{array}{c} {A+B=0} \\ {A-B=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {A+B=0} \\ {2A=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {B=-A=-1} \\ {A=1} \end{array}\right. \]Искомое разложение:
\[\frac{2}{(x-1)(x+1)} =\frac{1}{x-1} -\frac{1}{x+1} \]Вычислим интеграл:
\[\int \frac{2}{(x-1)(x+1)} dx =\int \frac{1}{x-1} dx -\int \frac{1}{x+1} dx =\int \frac{d(x-1)}{x-1} -\int \frac{d(x+1)}{x+1} =\ln |x-1|-\ln |x+1|+C\]2 случай:
Корни знаменателя дроби являются действительными, причем некоторые из них являются кратными корнями. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I, II типов.
Так как $Q_{n} (x)=(x-a)^{\alpha } (x-b)^{\beta } ...(x-d)^{\delta } $, то
Искомый интеграл
$\begin{array}{l} {\int \frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} dx=\int \left(\frac{A_{1} }{x-a} +...+\frac{A_{\alpha } }{(x-a)^{\alpha } } +\frac{B_{1} }{x-b} +...+\frac{B_{\beta } }{(x-b)^{\beta } } +...+\frac{D_{1} }{x-d} +...+\frac{D_{\delta } }{(x-d)^{\delta } } \right)dx =} \\ {=\int \frac{A}{x-a} dx +...+\int \frac{A_{\alpha } }{(x-a)^{\alpha } } dx +\int \frac{B}{x-b} dx +...+\int \frac{B_{\beta } }{(x-b)^{\beta } } dx +...+\int \frac{D}{x-d} dx +...+\int \frac{D_{\delta } }{(x-d)^{\delta } } dx =} \\ {=A_{1} \ln |x-a|+...+\frac{A_{\alpha } }{(1-\alpha )(x-a)^{\alpha -1} } +B_{1} \ln |x-b|+...+\frac{B_{\beta } }{(1-\beta )(x-b)^{\beta -1} } +...+D_{1} \ln |x-d|+...+} \\ {+\frac{D_{\delta } }{(1-\delta )(x-d)^{\delta -1} } +C} \end{array}$
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{2}{(x-1)(x+1)^{2} } dx .\]Решение:
Записывается разложение дроби на простейшие в общем виде:
\[\frac{2}{(x-1)(x+1)^{2} } =\frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+1} +\frac{C}{(x+1)^{2} } \]Записываем сумму простейших дробей в виде рациональной дроби с неопределенными коэффициентами:
\[\begin{array}{l} {\frac{A}{x-1} +\frac{B}{x+1} +\frac{C}{(x+1)^{2} } =\frac{A(x+1)^{2} +B(x-1)(x+1)+C(x-1)}{(x+1)^{2} (x-1)} =\frac{A(x^{2} +2x+1)+Bx^{2} -B+Cx-C}{(x+1)^{2} (x-1)} =} \\ {=\frac{Ax^{2} +2Ax+A+Bx^{2} -B+Cx-C}{(x+1)^{2} (x-1)} =\frac{(A+B)x^{2} +(2A+C)x+A-B-C}{(x+1)^{2} (x-1)} } \end{array}\]Приравниваем полученную дробь и исходную дробь:
\[\frac{2}{(x-1)(x+1)^{2} } =\frac{(A+B)x^{2} +(2A+C)x+A-B-C}{(x+1)^{2} (x-1)} \]Решаем систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов:
\[\left\{\begin{array}{c} {A+B=0} \\ {2A+C=0} \\ {A-B-C=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {B=-A} \\ {C=-2A} \\ {A+A+2A=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {B=-A} \\ {C=-2A} \\ {4A=2} \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c} {B=-1/2} \\ {C=-1} \\ {A=1/2} \end{array}\right. \]Искомое разложение:
\[\frac{2}{(x-1)(x+1)^{2} } =\frac{1/2}{x-1} -\frac{1/2}{x+1} -\frac{1}{(x+1)^{2} } \]Вычислим интеграл:
\[\begin{array}{l} {\int \frac{2}{(x-1)(x+1)^{2} } dx =\int \frac{1/2}{x-1} dx -\int \frac{1/2}{x+1} dx-\int \frac{1/2}{(x+1)^{2} } dx =\frac{1}{2} \cdot \int \frac{d(x-1)}{x-1} -\frac{1}{2} \cdot \int \frac{d(x+1)}{x+1} -} \\ {-\frac{1}{2} \cdot \int \frac{d(x+1)}{(x+1)^{2} } =\frac{1}{2} \cdot \ln |x-1|-\frac{1}{2} \cdot \ln |x+1|+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x+1} +C} \end{array}\]3 случай:
Среди корней знаменателя дроби имеются комплексные корни и все из них различны. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I, II, III типов.
4 случай:
Среди корней знаменателя дроби имеются комплексные корни, причем некоторые из них являются кратными корнями. В данном случае рациональная дробь разлагается на простейшие дроби I, II, III и IV типов.
Таким образом, интеграл от рациональной дроби может быть выражен через:
- логарифмы (интегрирование простейших рациональных дробей I типа);
- рациональные функции (интегрирование простейших рациональных дробей II типа);
- логарифмы и арктангенсы (интегрирование простейших рациональных дробей III типа);
- рациональные функции и арктангенсы (интегрирование простейших рациональных дробей IV типа).
Для выполнения интегрирования рациональных дробей вида $\frac{1}{x^{2} +px+q} $ можно применять метод, при котором в знаменателе выделяют полный квадрат, после чего интеграл приводится к табличному:
Выполнить интегрирование:
\[\int \frac{dx}{x^{2} +2x+3} .\]Решение:
\[\int \frac{dx}{x^{2} +2x+3} =\int \frac{dx}{(x^{2} +2x+1)+2} =\int \frac{dx}{(x+1)^{2} +2} =\int \frac{dx}{(x+1)^{2} +(\sqrt{2} )^{2} } =\frac{1}{\sqrt{2} } arctg\frac{x+1}{\sqrt{2} } +C\]
