Понятие вписанного и центрально угла
Введем сначала понятие центрального угла.
Угол, вершина которого лежит в центре окружности называется центральным углом (рис. 1).
Центральный угол">
Рисунок 1. Центральный угол
Отметим, что градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.
Введем теперь понятие вписанного угла.
Угол, вершина которого лежит на окружности и стороны которого пересекают эту же окружность, называется вписанным углом (рис. 2).
Вписанный угол">
Рисунок 2. Вписанный угол
Теорема о вписанном угле
Градусная мера вписанного угла равняется половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Доказательство.
Пусть нам дана окружность с центром в точке O. Обозначим вписанный угол ACB (рис. 2). Возможны три следующих случая:
- Луч CO совпадает с какой либо стороной угла. Пусть это будет сторона CB (рис. 3).
Рисунок 3.
В этом случае дуга AB меньше 180∘, следовательно, центральный угол AOB равен дуге AB. Так как AO=OC=r, то треугольник AOC равнобедренный. Значит, углы при основании CAO и ACO равны между собой. По теореме о внешнем угле треугольника, имеем:
- Луч CO делит внутренний угол на два угла. Пусть он пересекает окружность в точке D (рис. 4).
Рисунок 4.
Рассмотрим отдельно углы ACD и DCB. По доказанному в пункте 1, получим
Получаем
- Луч CO не делит внутренний угол на два угла и не совпадает ни с одной его стороной (Рис. 5).
Рисунок 5.
Рассмотрим отдельно углы ACD и DCB. По доказанному в пункте 1, получим
Получаем
Теорема доказана.
Приведем следствия из данной теоремы.
Следствие 1: Вписанные углы, которые опираются на одну и туже дугу равны между собой.
Следствие 2: Вписанный угол, который опирается на диаметр -- прямой.
Пример задачи на использование понятий центрально и вписанного углов
Найти градусные меры вписанных углов, изображенных на рисунке (рис.6).
Рисунок 6.
Решение.
-
По теореме 1, имеем:
∠ABC=12002=600 -
По теореме 1, имеем:
∠ABC=9002=450 -
Из следствия 2 сразу получаем, что искомый угол -- прямой.