Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Центральные и вписанные углы

Понятие вписанного и центрально угла

Введем сначала понятие центрального угла.

Определение 1

Угол, вершина которого лежит в центре окружности называется центральным углом (рис. 1).

<a href=Центральный угол">

Рисунок 1. Центральный угол

Замечание 1

Отметим, что градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается.

Введем теперь понятие вписанного угла.

Определение 2

Угол, вершина которого лежит на окружности и стороны которого пересекают эту же окружность, называется вписанным углом (рис. 2).

<a href=Вписанный угол">

Рисунок 2. Вписанный угол

Теорема о вписанном угле

Теорема 1

Градусная мера вписанного угла равняется половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Доказательство.

Пусть нам дана окружность с центром в точке O. Обозначим вписанный угол ACB (рис. 2). Возможны три следующих случая:

  • Луч CO совпадает с какой либо стороной угла. Пусть это будет сторона CB (рис. 3).



Рисунок 3.

В этом случае дуга AB меньше 180, следовательно, центральный угол AOB равен дуге AB. Так как AO=OC=r, то треугольник AOC равнобедренный. Значит, углы при основании CAO и ACO равны между собой. По теореме о внешнем угле треугольника, имеем:

«Центральные и вписанные углы» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти
  • Луч CO делит внутренний угол на два угла. Пусть он пересекает окружность в точке D (рис. 4).



Рисунок 4.

Рассмотрим отдельно углы ACD и DCB. По доказанному в пункте 1, получим

Получаем

  • Луч CO не делит внутренний угол на два угла и не совпадает ни с одной его стороной (Рис. 5).



Рисунок 5.

Рассмотрим отдельно углы ACD и DCB. По доказанному в пункте 1, получим

Получаем

Теорема доказана.

Приведем следствия из данной теоремы.

Следствие 1: Вписанные углы, которые опираются на одну и туже дугу равны между собой.

Следствие 2: Вписанный угол, который опирается на диаметр -- прямой.

Пример задачи на использование понятий центрально и вписанного углов

Пример 1

Найти градусные меры вписанных углов, изображенных на рисунке (рис.6).



Рисунок 6.

Решение.

  1. По теореме 1, имеем:

    ABC=12002=600
  2. По теореме 1, имеем:

    ABC=9002=450
  3. Из следствия 2 сразу получаем, что искомый угол -- прямой.

Дата последнего обновления статьи: 29.03.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Центральные и вписанные углы"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant