Признаки делимости
Признаки делимости применяются к числам с целью определить, делится ли заданное целое число a на целое положительное число b без непосредственного проведения деления a на b.
Признаки делимости обычно применяют не к самому числу, а к числам, состоящим из цифр, которые участвуют в записи этого числа.
Признаки делимости на числа 2,5 и 10 позволяют проверить делимость числа по одной лишь последней цифре числа.
Другие признаки делимости предполагают проведение анализа двух, трех или больше последних цифр числа. Например, признак делимости на 4 требует анализа двузначного числа, которое составлено из двух последних цифр числа; признак делимости на 8 требует анализа числа, которое образовано тремя последними цифрами числа.
При использовании других признаков делимости необходимо проанализировать все цифры числа. Например, при использовании признака делимости на 3 и признака делимости на 9 необходимо найти сумму всех цифр числа, а затем проверить делимость найденной суммы на 3 или на 9 соответственно.
Признаки делимости на составные числа объединяют несколько других признаков. К примеру, признак делимости на 6 представляет собой объединение признаков делимости на числа 2 и 3, а признак делимости на 12 – на числа 3 и 4.
Применение некоторых признаков делимости требует проведения значительной вычислительной работы. В таких случаях может оказаться проще выполнить непосредственное деление числа a на b, которое приведет к решению вопроса, можно ли разделить данное число a на число b без остатка.
Признак делимости на 2
Если последняя цифра целого числа делится на 2 без остатка, то и число делится на 2 без остатка. В других случаях данное целое число не делится на 2.
Определить, какие из предложенных чисел делятся на 2:10,6349,–765386,29567.
Решение.
Используем признак делимости на 2, согласно которому можно сделать вывод, что на 2 без остатка делятся числа 10 и –765 386, т.к. последней цифрой данных чисел является число 0 и 6 соответственно. Числа 6 3494 и 29 567 не делятся на 2 без остатка, т.к. последняя цифра числа 9 и 7 соответственно.
Ответ: 10 и –765 386 делятся на 2, 6 349 и 29 567 не делятся на 2.
Целые числа по результату их делимости на 2 делят на четные и нечетные.
Признак делимости на 3
Если сумма цифр целого числа делится на 3, то и само число делится на 3, в других случаях число на 3 не делится.
Проверить, делится ли число 123 на 3.
Решение.
Найдем сумму цифр числа 123=1+2+3=6. Т.к. полученная сумма 6 делится на 3, то по признаку делимости на 3 число 123 делится на 3.
Ответ: 123⋮3.
Проверить, делится ли число 58 на 3.
Решение.
Найдем сумму цифр числа 58=5+8=13. Т.к. полученная сумма 13 не делится на 3, то по признаку делимости на 3 число 58 не делится на 3.
Ответ: 58 не делится на 3.
Иногда для проверки делимости числа на 3 нужно несколько раз применить признак делимости на 3. Обычно такой подход используется в случае применения признаков делимости к очень большим числам.
Проверить, делится ли число 999 675 444 на 3.
Решение.
Найдем сумму цифр числа 999 675 444=9+9+9+6+7+5+4+4+4=27+18+12=57. Если по полученной сумме сложно сказать, делится ли она на 3, нужно еще раз применить признак делимости и найти сумму цифр полученной суммы 57=5+7=12. Т.к. полученная сумма 12 делится на 3, то по признаку делимости на 3 число 999 675 444 делится на 3.
Ответ: 999 675 444⋮3.
Признак делимости на 4
Целое число делится на 4, если число, которое составлено из двух последних цифр данного числа (в порядке их следования) делится на 4. В обратном случае данное число не делится на4.
Проверить, делятся ли числа 123 567 и 48 612 на 4.
Решение.
Двухзначное число, которое составлено из двух последних цифр числа 123 567, составляет 67. Число 67 не делится на 4, т.к. 67÷4=16(ост.3). Значит и число 123 567 согласно признаку делимости на 4 не делится на $44.44.
Двухзначное число, которое составлено из двух последних цифр числа 48 612, составляет 12. Число 12 делится на 4, т.к. 12÷4=3. Значит и число 48 612 согласно признаку делимости на 4 делится на 4.
Ответ: 123 567 не делится на 4,48 612 делится на 4.
Если двумя последними цифрами заданного числа являются нули, то число делится на 4.
Такой вывод делается вследствие того, что данное число делится на 100, а т.к. 100 делится на 4, то и число делится на 4.
Признак делимости на 5
Если последней цифрой целого числа является 0 или 5, то данное число делится на 5 и не делится на 5 во всех остальных случаях.
Определить, какие из предложенных чисел делятся на 5:10,6349,–765385,29567.
Решение.
Используем признак делимости на 5, согласно которому можно сделать вывод, что на 5 без остатка делятся числа 10 и –765385, т.к. последней цифрой данных чисел является число 0 и 5 соответственно. Числа 6 349 и 29 567 не делятся на 5 без остатка, т.к. последняя цифра числа 9 и 7 соответственно.
Ответ: 10 и –765 385 делятся на 5, 6 349 и 29 567 не делятся на 5.
Признак делимости на 9
Если сумма цифр целого числа делится на 9, то и само число делится на 9, в других случаях число на 9 не делится.
Проверить, делится ли число 675 на 9.
Решение.
Найдем сумму цифр числа 675=6+7+5=18. Т.к. полученная сумма 18 делится на 9, то по признаку делимости на 9 число 675 делится на 9.
Ответ: 675⋮9.
Проверить, делится ли число 1 893 на 9.
Решение.
Найдем сумму цифр числа 1 893=1+8+9+3=21. Т.к. полученная сумма 21 не делится на 9, то по признаку делимости на 9 число 1 893 не делится на 9.
Ответ: 1 893 не делится на 9.
Признаки делимости на 10, 100, 1 000 и т.д.
Если последней цифрой целого числа является 0, то данное число делится на 10, в других случаях данное число не делится на 10.
В случае делимости на 100,1000 и т.д. число должно заканчиваться на столько нулей, сколько нулей в числе, на которое оно делится. Например, число 54 600 делится на 100, т.к. в числе 100 два нуля и число заканчивается на 2 нуля.
