Признаки делимости
Признаки делимости применяются к числам с целью определить, делится ли заданное целое число a на целое положительное число $b$ без непосредственного проведения деления $a$ на $b$.
Признаки делимости обычно применяют не к самому числу, а к числам, состоящим из цифр, которые участвуют в записи этого числа.
Признаки делимости на числа $2, 5$ и $10$ позволяют проверить делимость числа по одной лишь последней цифре числа.
Другие признаки делимости предполагают проведение анализа двух, трех или больше последних цифр числа. Например, признак делимости на $4$ требует анализа двузначного числа, которое составлено из двух последних цифр числа; признак делимости на 8 требует анализа числа, которое образовано тремя последними цифрами числа.
При использовании других признаков делимости необходимо проанализировать все цифры числа. Например, при использовании признака делимости на $3$ и признака делимости на $9$ необходимо найти сумму всех цифр числа, а затем проверить делимость найденной суммы на $3$ или на $9$ соответственно.
Признаки делимости на составные числа объединяют несколько других признаков. К примеру, признак делимости на $6$ представляет собой объединение признаков делимости на числа $2$ и $3$, а признак делимости на $12$ – на числа $3$ и $4$.
Применение некоторых признаков делимости требует проведения значительной вычислительной работы. В таких случаях может оказаться проще выполнить непосредственное деление числа $a$ на $b$, которое приведет к решению вопроса, можно ли разделить данное число $a$ на число $b$ без остатка.
Признак делимости на $2$
Если последняя цифра целого числа делится на $2$ без остатка, то и число делится на $2$ без остатка. В других случаях данное целое число не делится на $2$.
Определить, какие из предложенных чисел делятся на $2: 10, 6 349, –765 386, 29 567.$
Решение.
Используем признак делимости на $2$, согласно которому можно сделать вывод, что на $2$ без остатка делятся числа $10$ и $–765 \ 386$, т.к. последней цифрой данных чисел является число $0$ и $6$ соответственно. Числа $6 \ 3494$ и $29 \ 567$ не делятся на $2$ без остатка, т.к. последняя цифра числа $9$ и $7$ соответственно.
Ответ: $10$ и $–765 \ 386$ делятся на $2$, $6 \ 349$ и $29 \ 567$ не делятся на $2$.
Целые числа по результату их делимости на $2$ делят на четные и нечетные.
Признак делимости на $3$
Если сумма цифр целого числа делится на $3$, то и само число делится на $3$, в других случаях число на $3$ не делится.
Проверить, делится ли число $123$ на $3$.
Решение.
Найдем сумму цифр числа $123=1+2+3=6$. Т.к. полученная сумма $6$ делится на $3$, то по признаку делимости на $3$ число $123$ делится на $3$.
Ответ: $123⋮3$.
Проверить, делится ли число $58$ на $3$.
Решение.
Найдем сумму цифр числа $58=5+8=13$. Т.к. полученная сумма $13$ не делится на $3$, то по признаку делимости на $3$ число $58$ не делится на $3$.
Ответ: $58$ не делится на $3$.
Иногда для проверки делимости числа на 3 нужно несколько раз применить признак делимости на $3$. Обычно такой подход используется в случае применения признаков делимости к очень большим числам.
Проверить, делится ли число $999 \ 675 \ 444$ на $3$.
Решение.
Найдем сумму цифр числа $999 \ 675 \ 444 = 9 + 9 + 9 + 6 + 7 + 5 + 4 + 4 + 4 = 27 + 18 + 12 = 57$. Если по полученной сумме сложно сказать, делится ли она на $3$, нужно еще раз применить признак делимости и найти сумму цифр полученной суммы $57=5+7=12$. Т.к. полученная сумма $12$ делится на $3$, то по признаку делимости на $3$ число $999 \ 675 \ 444$ делится на $3$.
Ответ: $999 \ 675 \ 444 ⋮3$.
Признак делимости на $4$
Целое число делится на $4$, если число, которое составлено из двух последних цифр данного числа (в порядке их следования) делится на $4$. В обратном случае данное число не делится на$4$.
Проверить, делятся ли числа $123 \ 567$ и $48 \ 612$ на $4$.
Решение.
Двухзначное число, которое составлено из двух последних цифр числа $123 \ 567$, составляет $67$. Число $67$ не делится на $4$, т.к. $67\div 4=16 (ост. 3)$. Значит и число $123 \ 567$ согласно признаку делимости на $4$ не делится на $44.44.
Двухзначное число, которое составлено из двух последних цифр числа $48 \ 612$, составляет $12$. Число $12$ делится на $4$, т.к. $12\div 4=3$. Значит и число $48 \ 612$ согласно признаку делимости на $4$ делится на $4$.
Ответ: $123 \ 567$ не делится на $4, 48 \ 612$ делится на $4$.
Если двумя последними цифрами заданного числа являются нули, то число делится на $4$.
Такой вывод делается вследствие того, что данное число делится на $100$, а т.к. $100$ делится на $4$, то и число делится на $4$.
Признак делимости на $5$
Если последней цифрой целого числа является $0$ или $5$, то данное число делится на $5$ и не делится на $5$ во всех остальных случаях.
Определить, какие из предложенных чисел делятся на $5: 10, 6 349, –765 385, 29 567.$
Решение.
Используем признак делимости на $5$, согласно которому можно сделать вывод, что на $5$ без остатка делятся числа $10$ и $–765 385$, т.к. последней цифрой данных чисел является число $0$ и $5$ соответственно. Числа $6 \ 349$ и $29 \ 567$ не делятся на $5$ без остатка, т.к. последняя цифра числа $9$ и $7$ соответственно.
Ответ: $10$ и $–765 \ 385$ делятся на $5$, $6 \ 349$ и $29 \ 567$ не делятся на $5$.
Признак делимости на $9$
Если сумма цифр целого числа делится на $9$, то и само число делится на $9$, в других случаях число на $9$ не делится.
Проверить, делится ли число $675$ на $9$.
Решение.
Найдем сумму цифр числа $675=6+7+5=18$. Т.к. полученная сумма $18$ делится на $9$, то по признаку делимости на $9$ число $675$ делится на $9$.
Ответ: $675⋮9$.
Проверить, делится ли число $1 \ 893$ на $9$.
Решение.
Найдем сумму цифр числа $1 \ 893 = 1 + 8 + 9 + 3 = 21$. Т.к. полученная сумма $21$ не делится на $9$, то по признаку делимости на $9$ число $1 \ 893$ не делится на $9$.
Ответ: $1 \ 893$ не делится на $9.$
Признаки делимости на $10$, $100$, $1 \ 000$ и т.д.
Если последней цифрой целого числа является $0$, то данное число делится на $10$, в других случаях данное число не делится на $10$.
В случае делимости на $100, 1000$ и т.д. число должно заканчиваться на столько нулей, сколько нулей в числе, на которое оно делится. Например, число $54 \ 600$ делится на $100$, т.к. в числе $100$ два нуля и число заканчивается на $2$ нуля.
