Отношение двух чисел
Отношением двух чисел является их частное.
-
отношение $18$ к $3$ может быть записано как:
$18\div 3=\frac{18}{3}=6$.
-
отношение $5$ к $15$ может быть записано как:
$5\div 15=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$.
С помощью отношения двух чисел можно показать:
- во сколько раз одно число превышает другое;
- какую часть представляет одно число от другого.
При составлении отношения двух чисел в знаменателе дроби записывают то число, с которым проводится сравнение.
Чаще всего такое число следует после слов «по сравнению с ...» или предлога «к ...».
Вспомним основное свойство дроби и применим его к отношению:
При умножении или делении обоих членов отношения на одно и то же число, отличное от нуля, получаем отношение, которое равно исходному.
Рассмотрим пример, который иллюстрирует использование понятия отношения двух чисел.
Количество осадков в предыдущем месяце составляло $195$ мм, а в текущем месяце – $780$ мм. Во сколько раз увеличилось количество осадков в текущем месяце по сравнению с предыдущим месяцем?
Решение.
Составим отношение количества осадков в текущем месяце к количеству осадков в предыдущем месяце:
$\frac{780}{195}=\frac{780\div 5}{195\div 5}=\frac{156\div 3}{39\div 3}=\frac{52}{13}=4$.
Ответ: количество осадков в текущем месяце в $4$ раза больше, чем в предыдущем.
Найти сколько раз число $1 \frac{1}{2}$ содержится в числе $13 \frac{1}{2}$.
Решение.
$13 \frac{1}{2}\div 1 \frac{1}{2}=\frac{27}{2}\div \frac{3}{2}=\frac{27}{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{27}{3}=9$.
Ответ: $9$ раз.
Понятие пропорции
Пропорцией называется равенство двух отношений:
$a\div b=c\div d$
или
$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.
$3\div 6=9\div 18$, $5\div 15=9\div 27$, $4\div 2=24\div 12$,
$\frac{8}{2}=\frac{36}{9}$, $\frac{10}{40}=\frac{9}{36}$, $\frac{15}{75}=\frac{1}{5}$.
В пропорции $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ (или $a:b = с\div d$) числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ – средними членами пропорции.
Правильную пропорцию можно преобразовать следующим образом:
Произведение крайних членов правильной пропорции равно произведению средних членов:
$a \cdot d=b \cdot c$.
Данное утверждение является основным свойством пропорции.
Справедливо и обратное утверждение:
Если произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то пропорция правильная.
Если в правильной пропорции переставить средние члены или крайние члены, то пропорции, которые получатся, также будут правильными.
$6\div 3=18\div 9$, $15\div 5=27\div 9$, $2\div 4=12\div 24$,
$\frac{2}{8}=\frac{9}{36}$, $\frac{40}{10}=\frac{36}{9}$, $\frac{75}{15}=\frac{5}{1}$.
С помощью данного свойства легко из пропорции найти неизвестный член, если известны остальные три:
$a=\frac{b \cdot c}{d}$; $b=\frac{a \cdot d}{c}$; $c=\frac{a \cdot d}{b}$; $d=\frac{b \cdot c}{a}$.
$\frac{6}{a}=\frac{16}{8}$;
$6 \cdot 8=16 \cdot a$;
$16 \cdot a=6 \cdot 8$;
$16 \cdot a=48$;
$a=\frac{48}{16}$;
$a=3$.
$\frac{a}{21}=\frac{8}{24}$;
$a \cdot 24=21 \cdot 8$;
$a \cdot 24=168$;
$a=\frac{168}{24}$;
$a=7$.
Для пошива $7$ платьев понадобилось $21,7$ м шелка. Сколько нужно метров такого же шелка, чтобы пошить $18$ платьев?
Решение.
Пусть $x$ м – количество шелка, необходимого для пошива $18$ платьев. Тогда, по условию:
$7$ платьев – $21,7$ м;
$18$ платьев – $x$ м.
Составим пропорцию:
$\frac{7}{18}=\frac{21,7}{x}$.
Воспользуемся правилом нахождения неизвестного члена пропорции:
$d=\frac{b \cdot c}{a}$;
$x=\frac{18 \cdot 21,7}{7}$;
$x=18 \cdot 3,1$;
$x=55,8$.
Ответ: для пошива 18 платьев понадобится 55,8 м шелка.
$3$ садовника обрезают в день $108$ деревьев. Сколько нужно садовников, чтобы обрезать $252$ дерева?
Решение.
Пусть $x$ – количество садовников, необходимое для обрезки $252$ деревьев.
Тогда, по условию:
$3$ садовника – $108$ деревьев;
$x$ садовников – $252$ дерева.
Составим пропорцию:
$\frac{3}{x}=\frac{108}{252}$.
Воспользуемся правилом нахождения неизвестного члена пропорции:
$b=\frac{a \cdot d}{c}$;
$x=\frac{3 \cdot 252}{108}$;
$x=\frac{252}{36}$;
$x=7$.
Ответ: для обрезки $252$ деревьев потребуется $7$ садовников.
Чаще всего свойства пропорции используют на практике в математических вычислениях в случаях, когда необходимо вычислить значение неизвестного члена пропорции, если известны значения трех остальных членов.
