Отношения и пропорции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Отношение двух чисел

Определение 1

Отношением двух чисел является их частное.

Пример 1

отношение $18$ к $3$ может быть записано как:

$18\div 3=\frac{18}{3}=6$ .
отношение $5$ к $15$ может быть записано как:

$5\div 15=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$ .

С помощью отношения двух чисел можно показать:

во сколько раз одно число превышает другое;
какую часть представляет одно число от другого.

При составлении отношения двух чисел в знаменателе дроби записывают то число, с которым проводится сравнение.

Чаще всего такое число следует после слов «по сравнению с ...» или предлога «к ...».

Вспомним основное свойство дроби и применим его к отношению:

Замечание 1

При умножении или делении обоих членов отношения на одно и то же число, отличное от нуля, получаем отношение, которое равно исходному.

Рассмотрим пример, который иллюстрирует использование понятия отношения двух чисел.

Пример 2

Количество осадков в предыдущем месяце составляло $195$ мм, а в текущем месяце – $780$ мм. Во сколько раз увеличилось количество осадков в текущем месяце по сравнению с предыдущим месяцем?

Решение.

Составим отношение количества осадков в текущем месяце к количеству осадков в предыдущем месяце:

$\frac{780}{195}=\frac{780\div 5}{195\div 5}=\frac{156\div 3}{39\div 3}=\frac{52}{13}=4$ .

Ответ: количество осадков в текущем месяце в $4$ раза больше, чем в предыдущем.

Пример 3

Найти сколько раз число $1 \frac{1}{2}$ содержится в числе $13 \frac{1}{2}$ .

Решение.

$13 \frac{1}{2}\div 1 \frac{1}{2}=\frac{27}{2}\div \frac{3}{2}=\frac{27}{2} \cdot \frac{2}{3}=\frac{27}{3}=9$ .

Ответ: $9$ раз.

«Отношения и пропорции» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Понятие пропорции

Определение 2

Пропорцией называется равенство двух отношений:

$a\div b=c\div d$

или

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ .

Пример 4

$3\div 6=9\div 18$ , $5\div 15=9\div 27$ , $4\div 2=24\div 12$ ,

$\frac{8}{2}=\frac{36}{9}$ , $\frac{10}{40}=\frac{9}{36}$ , $\frac{15}{75}=\frac{1}{5}$ .

В пропорции $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ (или $a:b = с\div d$ ) числа a и d называются крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ – средними членами пропорции.

Правильную пропорцию можно преобразовать следующим образом:

Замечание 2

Произведение крайних членов правильной пропорции равно произведению средних членов:

$a \cdot d=b \cdot c$ .

Данное утверждение является основным свойством пропорции.

Справедливо и обратное утверждение:

Замечание 3

Если произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов, то пропорция правильная.

Замечание 4

Если в правильной пропорции переставить средние члены или крайние члены, то пропорции, которые получатся, также будут правильными.

Пример 5

$6\div 3=18\div 9$ , $15\div 5=27\div 9$ , $2\div 4=12\div 24$ ,

$\frac{2}{8}=\frac{9}{36}$ , $\frac{40}{10}=\frac{36}{9}$ , $\frac{75}{15}=\frac{5}{1}$ .

С помощью данного свойства легко из пропорции найти неизвестный член, если известны остальные три:

$a=\frac{b \cdot c}{d}$ ; $b=\frac{a \cdot d}{c}$ ; $c=\frac{a \cdot d}{b}$ ; $d=\frac{b \cdot c}{a}$ .

Пример 6

$\frac{6}{a}=\frac{16}{8}$ ;

$6 \cdot 8=16 \cdot a$ ;

$16 \cdot a=6 \cdot 8$ ;

$16 \cdot a=48$ ;

$a=\frac{48}{16}$ ;

$a=3$ .

Пример 7

$\frac{a}{21}=\frac{8}{24}$ ;

$a \cdot 24=21 \cdot 8$ ;

$a \cdot 24=168$ ;

$a=\frac{168}{24}$ ;

$a=7$ .

Пример 8

Для пошива $7$ платьев понадобилось $21,7$ м шелка. Сколько нужно метров такого же шелка, чтобы пошить $18$ платьев?

Решение.

Пусть $x$ м – количество шелка, необходимого для пошива $18$ платьев. Тогда, по условию:

$7$ платьев – $21,7$ м;

$18$ платьев – $x$ м.

Составим пропорцию:

$\frac{7}{18}=\frac{21,7}{x}$ .

Воспользуемся правилом нахождения неизвестного члена пропорции:

$d=\frac{b \cdot c}{a}$ ;

$x=\frac{18 \cdot 21,7}{7}$ ;

$x=18 \cdot 3,1$ ;

$x=55,8$ .

Ответ: для пошива 18 платьев понадобится 55,8 м шелка.

Пример 9

$3$ садовника обрезают в день $108$ деревьев. Сколько нужно садовников, чтобы обрезать $252$ дерева?

Решение.

Пусть $x$ – количество садовников, необходимое для обрезки $252$ деревьев.

Тогда, по условию:

$3$ садовника – $108$ деревьев;

$x$ садовников – $252$ дерева.

Составим пропорцию:

$\frac{3}{x}=\frac{108}{252}$ .

Воспользуемся правилом нахождения неизвестного члена пропорции:

$b=\frac{a \cdot d}{c}$ ;

$x=\frac{3 \cdot 252}{108}$ ;

$x=\frac{252}{36}$ ;

$x=7$ .

Ответ: для обрезки $252$ деревьев потребуется $7$ садовников.

Чаще всего свойства пропорции используют на практике в математических вычислениях в случаях, когда необходимо вычислить значение неизвестного члена пропорции, если известны значения трех остальных членов.

Дата последнего обновления статьи: 20.06.2024