Правило трех сигм

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Напомним для начала следующие факты:

Вспомним формулу для нахождения вероятности того, что отклонение, распределенной по нормальному закону непрерывной случайной величины $X$ , от математического ожидания $a$ по абсолютной величине (то есть по модулю) будет меньше $\delta$ :

среднее

Напомним таблицу нахождения значений интегральной функции (таблица 1)

Рисунок 1. Значения интегральной функции $Ф(x)$ .

Теперь найдем, чему будет равна вероятность того, что отклонение, распределенной по нормальному закону непрерывной случайной величины $X$ , от математического ожидания $a$ по абсолютной величине (то есть по модулю) будет меньше $3\sigma$ , то есть:

Геометрически этот факт можно представить следующим образом:

Рисунок 2.

Из всего вышесказанного сформулируем следующее правило:

Правило трёх сигм: Если непрерывная случайная величина $X$ распределена по нормальному закону, то абсолютная величина её отклонения от математического ожидания $a$ не превосходит утроенного значения среднего квадратического отклонения $\sigma$ .

Примеры решения задач на применение правила трех сигм

Пример 1

Длина изготавливаемого стержня подчинена нормальному закону распределения. Математическое ожидание $a=1$ м, а среднее математическое отклонение $\sigma =0,01$ м. Найти границы, пределах которых гарантируется длина стержня.

Решение.

Для решения задачи воспользуемся правилом трех сигм:

\[P\left(|X-a|

Пример 2

Текущая цена на молоко подчинена нормальному закону распределения. Математическое ожидание $a=25$ рублей, а среднее математическое отклонение $\sigma =1$ рубль. Найти границы, в которых будет находиться текущая цена нам молоко.

Решение.

Для решения задачи воспользуемся правилом трех сигм:

\[P\left(|X-a|Так как случайная величина (цена) распределена по нормальному закону, то \[P\left(\left|X-25\right|Ответ: (22,28).

Пример 3

На заводе изготавливают шурупы для ноутбуков. Размер диаметра шурупа распределен по нормальному закону распределения с математическим ожиданием $a=0,2\$ см и средним квадратическим отклонением $\sigma =0,02$ мм. В каких границах можно практически 100\% гарантировать размер шурупа?