Есть несколько основных используемых способов для вычисления матричных определителей размерности 4x4. Первый из них — это приведение матрицы к ступенчатой форме посредством разрешённых преобразований, а второй — это разложение матрицы по строчке или столбцу.
Способ Гаусса
Способ разрешённых преобразований для нахождения определителей 4х4 интуитивно довольно прост и понятен: нужно преобразовать матричную таблицу так, чтобы снизу под главной диагональю стояли только нули, а после этого найти произведение элементов с этой самой диагонали. В процессе можно пользоваться свойствами определителей.
Свойства детерминанта
Также в процессе нахождения детерминанта можно пользоваться свойствами определителя, вот самые полезные из них:
- Определитель будет равен нулю, если какие-либо его строчки или столбцы полностью нулевые или пропорциональны между собой (то есть отличаются лишь каким-либо множителем);
- Общий множитель, присутствующий у всех элементов строчки или столбца, можно вынести за скобки и тем самым упростить процесс вычисления;
- При перестановке строчек или столбцов знак конечного вычисленного значения меняется на противоположный.
Статья: Нахождение определителя матрицы 4 на 4
Разложение по строчке
Тут нужно записывать определитель через сумму алгебраических дополнений элемента строчки или столбца, по которой производится разложение.
Алгебраическое дополнение одного элемента $a_ij$ вычисляется по формуле:
$(-1)^{i+j} \cdot Δ_{ij}$, здесь $Δ_{ij}$ — минор элемента, он определяется путём вычёркивания строчки и столбца, в которой стоит рассматриваемый элемент.
Единица в степени $i+j$ по сути нужна для определения знака перед соответствующим минором, поэтому для простоты можно просто принять, что знаки чередуются в шахматном порядке, причём для элемента 1-ой строчки 1-ого столбца знак будет положительный.
Найдите определитель для $A$:
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & -9 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$
Решение:
Здесь всё просто, в строчке четыре стоят только нули, а это значит, что $Δ = 0$.
Посчитайте определитель для $B$:
$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -5 \\ 1 & 6 & 4 & -5 \\ 1 & 2 & -2 & -5 \\ 1 & 3 & 0 & -5 \\ \end{pmatrix}$
Первый столбец отличается от последнего лишь множителем для всей строки, равным $-5$, а это значит, что здесь, как и в первом примере $Δ = 0$.
Дана матрица $C$. Найдите детерминант методом Гаусса:
$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -4 \\ \end{pmatrix}$
Решение:
Ищем детерминант посредством составления треугольной матрицы. Для этого осуществляем следующие преобразования, для удобства обозначения осуществляемых со строками арифметических операций будем обозначать строчку как (n):
(4) - (1); (3) - (1); (2) - (1):
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \\ \end{pmatrix}$
Теперь можно найти произведение с главной диагонали:
$Δ = 1 \cdot (-3) \cdot 2 \cdot (-5) = 30$.
Проверьте себя и найдите определитель матричной таблицы $C$ разложением по строчке.
Решение:
Нулевых элементов в строчках и столбцах нет, поэтому разложим определитель по первой строчке, так как она имеет минимальные по модулю элементы. Знаки при каждом произведении запишутся в следующем порядке: $(+;-;+;-)$.
$\begin{array} {|cccc|}1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -4 \\ \end{array}= 1 \cdot \begin{array} {|ccc|} -2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ \end{array} – 1 \cdot \begin{array} {|ccc|} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ \end{array} + 1 \cdot \begin{array} {|ccc|} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ \end{array} - \begin{array} {|ccc|} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} $
Теперь вычислим каждый минор по отдельности, воспользуемся правилом Саррюса:
$\begin{array} {|ccc|} -2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ \end{array}= ( - 2) \cdot 3 \cdot ( - 4) + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 – 1\cdot 1 \cdot (-4) - ( -2 ) \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 \cdot 1 = 24 + 1 + 1 + 4 + 2 – 3 = 29$;
$\begin{array} {|ccc|} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ \end{array} = 1 \cdot 3 ( - 4) + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 – 1 \cdot 1 \cdot ( - 4) - 1 \cdot 1 \cdot 1 – 1 \cdot 3 \cdot 1 = -10$;
$\begin{array} {|ccc|} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{array} = 1 \cdot 1 \cdot ( - 4) + ( - 2) \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - ( - 2) \cdot 1 \cdot ( - 4) - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 = -15$;
$\begin{array} {|ccc|} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} = 1 \cdot 1 \cdot 1 + ( - 2) \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - ( - 2) \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 + ( - 6) + 1 + 2 – 3 – 1 = - 6$;
$Δ = 29 + 10 – 15 + 6 = 30$.
