Есть несколько основных используемых способов для вычисления матричных определителей размерности 4x4. Первый из них — это приведение матрицы к ступенчатой форме посредством разрешённых преобразований, а второй — это разложение матрицы по строчке или столбцу.
Способ Гаусса
Способ разрешённых преобразований для нахождения определителей 4х4 интуитивно довольно прост и понятен: нужно преобразовать матричную таблицу так, чтобы снизу под главной диагональю стояли только нули, а после этого найти произведение элементов с этой самой диагонали. В процессе можно пользоваться свойствами определителей.
Свойства детерминанта
Также в процессе нахождения детерминанта можно пользоваться свойствами определителя, вот самые полезные из них:
- Определитель будет равен нулю, если какие-либо его строчки или столбцы полностью нулевые или пропорциональны между собой (то есть отличаются лишь каким-либо множителем);
- Общий множитель, присутствующий у всех элементов строчки или столбца, можно вынести за скобки и тем самым упростить процесс вычисления;
- При перестановке строчек или столбцов знак конечного вычисленного значения меняется на противоположный.
Разложение по строчке
Тут нужно записывать определитель через сумму алгебраических дополнений элемента строчки или столбца, по которой производится разложение.
Алгебраическое дополнение одного элемента $a_ij$ вычисляется по формуле:
$(-1)^{i+j} \cdot Δ_{ij}$, здесь $Δ_{ij}$ — минор элемента, он определяется путём вычёркивания строчки и столбца, в которой стоит рассматриваемый элемент.
Единица в степени $i+j$ по сути нужна для определения знака перед соответствующим минором, поэтому для простоты можно просто принять, что знаки чередуются в шахматном порядке, причём для элемента 1-ой строчки 1-ого столбца знак будет положительный.
Найдите определитель для $A$:
$A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \\ 9 & -9 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}$
Решение:
Здесь всё просто, в строчке четыре стоят только нули, а это значит, что $Δ = 0$.
Посчитайте определитель для $B$:
$B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -5 \\ 1 & 6 & 4 & -5 \\ 1 & 2 & -2 & -5 \\ 1 & 3 & 0 & -5 \\ \end{pmatrix}$
Первый столбец отличается от последнего лишь множителем для всей строки, равным $-5$, а это значит, что здесь, как и в первом примере $Δ = 0$.
Дана матрица $C$. Найдите детерминант методом Гаусса:
$C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -4 \\ \end{pmatrix}$
Решение:
Ищем детерминант посредством составления треугольной матрицы. Для этого осуществляем следующие преобразования, для удобства обозначения осуществляемых со строками арифметических операций будем обозначать строчку как (n):
(4) - (1); (3) - (1); (2) - (1):
$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & -3 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -5 \\ \end{pmatrix}$
Теперь можно найти произведение с главной диагонали:
$Δ = 1 \cdot (-3) \cdot 2 \cdot (-5) = 30$.
Проверьте себя и найдите определитель матричной таблицы $C$ разложением по строчке.
Решение:
Нулевых элементов в строчках и столбцах нет, поэтому разложим определитель по первой строчке, так как она имеет минимальные по модулю элементы. Знаки при каждом произведении запишутся в следующем порядке: $(+;-;+;-)$.
$\begin{array} {|cccc|}1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & -4 \\ \end{array}= 1 \cdot \begin{array} {|ccc|} -2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ \end{array} – 1 \cdot \begin{array} {|ccc|} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ \end{array} + 1 \cdot \begin{array} {|ccc|} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ \end{array} - \begin{array} {|ccc|} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} $
Теперь вычислим каждый минор по отдельности, воспользуемся правилом Саррюса:
$\begin{array} {|ccc|} -2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ \end{array}= ( - 2) \cdot 3 \cdot ( - 4) + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 – 1\cdot 1 \cdot (-4) - ( -2 ) \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 \cdot 1 = 24 + 1 + 1 + 4 + 2 – 3 = 29$;
$\begin{array} {|ccc|} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & -4 \\ \end{array} = 1 \cdot 3 ( - 4) + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 – 1 \cdot 1 \cdot ( - 4) - 1 \cdot 1 \cdot 1 – 1 \cdot 3 \cdot 1 = -10$;
$\begin{array} {|ccc|} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \\ \end{array} = 1 \cdot 1 \cdot ( - 4) + ( - 2) \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - ( - 2) \cdot 1 \cdot ( - 4) - 1 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 = -15$;
$\begin{array} {|ccc|} 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} = 1 \cdot 1 \cdot 1 + ( - 2) \cdot 3 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - ( - 2) \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 + ( - 6) + 1 + 2 – 3 – 1 = - 6$;
$Δ = 29 + 10 – 15 + 6 = 30$.
