Множество значений функции

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Функцией, заданной на множестве $X$ и принимающей значения из множества $Y$ называют некую закономерность, по которой каждому элементу из множества $X$ соответствует лишь один и только один элемент из множества $Y$ .

Из этого определения следует, что множество (область) значений функции — это те значения функции $y(x)$ , которые она может принимать соответственно области её определения. Теперь перейдём к следующему определению.

Определение 2

Область (множество) значений функции на некотором рассматриваемом отрезке — это интервал значений, которые функция принимает на этом рассматриваемом отрезке.

Чаще всего в учебной литературе встречается термин «множество значений функции». Кратко его обозначают $E(f)$ .

Как определить область значения функции

Для определения множества значений функции пользуются графическим методом, методом поисков минимума и максимума, вычислением производной и другими.

Определение множества значений функции графическим методом

Графический метод подразумевает построение графика функции и изучение этого графика. Этот метод наиболее удобен, если не известна какая-либо закономерность изменения функции $f(x)$ , а есть только набор произвольных точек или собственно сам график.

Пример 1

Рисунок 1. Определение множества значений функции графическим методом

На данном рисунке область значений функции $y=f(x)$ равна $E(y)=3$ , так как на протяжении всего отрезка функция $y$ не меняет своего значения и всегда равна $3$ , тогда как область определения функции $D(y)=[0;3.5]$ .

Скобки в данном случае для области определения функции необходимо использовать квадратные, так как обе точки закрашены, то есть включены в отрезок. В случае если точки не закрашены, они не включаются в отрезок и тогда применяются круглые скобки.

«Множество значений функции» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Метод нахождения области значения функции через производную

Метод нахождения области значения функции через производную состоит в том, чтобы сначала оценить область её определения (то есть определить те значения, которые может принимать аргумент $x$ , а затем осуществить процедуру нахождения самой производной. После этого осуществляют поиск значений $x$ , при которых производная функции равна нулю и при которых производная не существует.

Рассмотрим пример нахождения области значений функции через производную.

Пример 2

Дана функция $f(x)=\sqrt{16-x^2}$ . Найдите область её значений.

Сначала определяем, какие значения может принимать $x$ для существования функции.

При значении $x^2>16$ под корнем получается отрицательное число, а это значит, что область определения функции от $[-4;4]$ включительно.

Теперь найдём производную функции:

$(\sqrt{16-x^2})’=-\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}$

Если в знаменателе производной нуль, то производной не существует, в данном случае это условие выполняется при $x=±4$ .

Приравниваем производную к нулю и находим значения $x$ . Производная данной функции принимает нулевое значение при $x=0$ . Теперь подставляем найденные значения производной в нашу функцию, и получаем, что наименьшее значение функции — это $f(4)$ и $f(-4)$ , при этих значениях функция равна нулю, а наибольшее значение $f(x)$ — при $x=0$ , в этой точке функция равна $16$ .

Метод поиска минимума и максимума

Метод поиска минимума и максимума основан на том, чтобы найти максимальное и и минимальное значение, которые функция принимает на изучаемой области.

Пример 3

Определите область значений функции:

$y=6-4sinx$

Проанализируем данную функцию. Так как минимальное значение синуса равно минус единице, а а максимальное — единице, то подставив эти значения получаем, что $max(f(x))=10$ при $x=\frac{3π}{2}$ , а минимум $min(f(x))=2$ при $x=\frac{π}{2}$ . Следовательно, множество значений, которые может принимать данная функция — $E(x)=[2;10]$ .

Разница между областью значения и областью определения функции

Стоит обратить внимание, что область значений функции — не одно и то же с термином «область определения функции».

Определение 3

Область определения функции $D(y)$ — это диапазон таких значений переменной $x$ , при которых существует функция $y(x)$ .

Например, рассмотрим функцию $y(x)=x^2$ . В данном случае область определения этой функции будет множеством вещественных (действительных) чисел $\mathbb{R}$ , а сама функция будет принимать значения только положительных действительных чисел $\mathbb{R}^+$ , так как вещественное число, возведённое в квадрат, не может давать отрицательное значение. То есть, в этом примере множество значений функции — это множество положительных вещественных чисел $\mathbb{R}^+$ .

Также имеют место случаи, когда область определения функции совпадает с областью значений. В качестве иллюстрации можно рассмотреть функцию $y(x)=2x$ . За аргумент $x$ данная функция может принимать любое действительное число из множества $\mathbb{R}$ , а значения, которые будет принимать сама функция — это удвоенные числа из множества всех действительных чисел. То есть, в данном случае областью значений $E(y)$ будет также всё множество вещественных чисел $\mathbb{R}$ .