Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Разложение на множители разности степеней

Частично использовать разложение на множители разность степеней мы уже умеем - при изучении темы «Разность квадратов» и «Разность кубов» мы научились представлять как произведение разность выражений, которые можно представить как квадраты или как кубы некоторых выражений или чисел.

Формулы сокращенного умножения

По формулам сокращенного умножения:

разность квадратов можно представить как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму

Разность кубов можно представить как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы

Переход к разности выражений в 4 степени

Опираясь на формулу разности квадратов, попробуем разложить на множители выражение a4b4

Вспомним, как возводится степень в степень - для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е (an)m=anm

Тогда можно представить:

a4=(a2)2

b4=(b2)2

Значит, наше выражение можно представить, как a4b4=(a2)2-(b2)2

Далее можно заметить, что теперь многочлен представляет собой разность квадратов одночленов a2 и b2 .Разложим многочлен на множители как произведение разности одночленов на их сумму

Теперь в первой скобке мы вновь получили разность чисел, значит вновь можно разложить на множители как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму: a2b2=(ab)(a+b).

Исходное выражение принимает вид

Теперь вычислим произведение второй и третьей скобок используя правило произведения многочленов, - умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат. Для этого сначала первый член первого многочлена - a - умножим на первый и второй член второго (на a2 и b2),т.е. получим aa2+ab2, затем второй член первого многочлена -b- умножим на первый и второй члены второго многочлена (на a2 и b2),т.е. получим ba2+bb2 и составим сумму получившихся выражений

«Разложение на множители разности степеней» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

(a+b)(a2+b2)=aa2+ab2+ba2+bb2=a3+ab2+a2b+b3

Запишем разность одночленов 4 степени с учетом вычисленного произведения:

a4b4=(a2)2-(b2)2=(a2b2)(a2+b2)= (ab)(a+b)(a2+b2) =

Переход к разности выражений в 6 степени

Опираясь на формулу разности квадратов попробуем разложить на множители выражение a6b6

Вспомним, как возводится степень в степень - для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е (an)m=anm

Тогда можно представить:

a6=(a3)2

b6=(b3)2

Значит, наше выражение можно представить, как a6b6=(a3)2(b3)2

Далее можно заметить, что теперь многочлен представляет собой разность квадратов одночленов a2 и b2 .Разложим многочлен на множители как произведение разности одночленов на их сумму

В первой скобке мы получили разность кубов одночленов, во второй сумму кубов одночленов, теперь вновь можно разложить на множители разность кубов одночленов как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы a3b3=(ab)(a2+ab+b2)

Исходное выражение принимает вид

a6b6=(a3b3)(a3+b3)=(ab)(a2+ab+b2)(a3+b3)

Вычислим произведение второй и третье скобок используя правило произведения многочленов, - умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат.

(a2+ab+b2)(a3+b3)=a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5

Запишем разность одночленов 6 степени с учетом вычисленного произведения:

a6b6=(a3b3)(a3+b3)=(ab)(a2+ab+b2)(a3+b3)=(ab)(a5+a4b+a3b2+a2b3+ab4+b5)

Разложение на множители разности степеней

Проанализируем формулы разности кубов, разности 4 степеней, разности 6 степеней

Мы видим, что в каждом из данных разложений присутствует некоторая аналогия, обобщая которую получим:

Пример 1

Разложить на множители 32x10243y15

Решение: Сначала представим каждый одночлен как некоторый одночлен в 5 степени:

32x10=(2x2)5
243y15=(3y3)5

Используем формулу разности степеней



Рисунок 1.

Дата последнего обновления статьи: 10.05.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Разложение на множители разности степеней"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant