Частично использовать разложение на множители разность степеней мы уже умеем - при изучении темы «Разность квадратов» и «Разность кубов» мы научились представлять как произведение разность выражений, которые можно представить как квадраты или как кубы некоторых выражений или чисел.
Формулы сокращенного умножения
По формулам сокращенного умножения:
разность квадратов можно представить как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму
Разность кубов можно представить как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы
Переход к разности выражений в 4 степени
Опираясь на формулу разности квадратов, попробуем разложить на множители выражение
Вспомним, как возводится степень в степень - для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е
Тогда можно представить:
Значит, наше выражение можно представить, как -
Далее можно заметить, что теперь многочлен представляет собой разность квадратов одночленов и .Разложим многочлен на множители как произведение разности одночленов на их сумму
Теперь в первой скобке мы вновь получили разность чисел, значит вновь можно разложить на множители как произведение разности двух чисел или выражений на их сумму: .
Исходное выражение принимает вид
Теперь вычислим произведение второй и третьей скобок используя правило произведения многочленов, - умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат. Для этого сначала первый член первого многочлена - - умножим на первый и второй член второго (на и ),т.е. получим , затем второй член первого многочлена -- умножим на первый и второй члены второго многочлена (на и ),т.е. получим и составим сумму получившихся выражений
Запишем разность одночленов 4 степени с учетом вычисленного произведения:
-==
Переход к разности выражений в 6 степени
Опираясь на формулу разности квадратов попробуем разложить на множители выражение
Вспомним, как возводится степень в степень - для этого основание остается прежним, а показатели перемножаются, т. е
Тогда можно представить:
Значит, наше выражение можно представить, как
Далее можно заметить, что теперь многочлен представляет собой разность квадратов одночленов и .Разложим многочлен на множители как произведение разности одночленов на их сумму
В первой скобке мы получили разность кубов одночленов, во второй сумму кубов одночленов, теперь вновь можно разложить на множители разность кубов одночленов как произведение разности двух чисел на неполный квадрат суммы
Исходное выражение принимает вид
Вычислим произведение второй и третье скобок используя правило произведения многочленов, - умножим каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена и сложим результат.
Запишем разность одночленов 6 степени с учетом вычисленного произведения:
Разложение на множители разности степеней
Проанализируем формулы разности кубов, разности степеней, разности степеней
Мы видим, что в каждом из данных разложений присутствует некоторая аналогия, обобщая которую получим:
Разложить на множители
Решение: Сначала представим каждый одночлен как некоторый одночлен в 5 степени:
Используем формулу разности степеней
Рисунок 1.