Метод Якоби относится к итерационным способам решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Итерация — результат повторяющегося алгоритма, последовательно применяемого к каждому элементу множества, иными словами их обработка методом перебора.
Перед тем, как применить итерацию к системе $Ax=b$ необходимо преобразовать ее к виду $x = Bx+d$. После этого следует выполнить начальное приближение к решению $x^{(0)} = (x_1^0, x_2^0..., x_m^0)$ и найти последовательность приближений к корню СЛАУ.
Для проверки итераций на сходимость достаточным является условие $\Vert В \Vert \lt 1$. Процесс итерации заканчивается в зависимости от выбранного метода, одним из которых и является метод Якоби.
Другими популярными методами итерации являются метод Зейделя и метод простой итерации.
Достоинством метода Якоби для приведения системы матрицы к виду, удобному для итерации является его простота. Сначала из каждого уравнения матрицы $A$ следует выразить неизвестное ($x_1, x_2..., x_n$). В итоге получается матрица $B$. На ее главной диагонали располагаются нулевые элементы. Остальные вычисляются по формуле:
$b_{ij} = −a_{ij}/a_{ii}, i,j = 1, 2..., n$
Компоненты (элементы) вектора $d$ вычисляются по формуле:
$d_i = b_i/a_{ii}, i = 1, 2..., n$
Формула для расчета по методу простой итерации:
$x^{(n+1)} = Bx^{(x)}+d$
Координатная (матричная) запись:
$x_i^{(n+1)} = b_{i1}x^n_1+b_{i2}x^{(n)}_2+...+b$
Критерий окончания итераций в методе Якоби:
$\Vert x^{(n+1)}−x^{(n)}\Vert \lt ε_1$, где $ε_1 = \frac{1−\Vert B \Vert}{\Vert B \Vert}ε$
Если $B \lt 1/2$, можно использовать более простой критерий окончания:
$\Vert x^{(n+1)}−x^{(n)}\Vert \lt ε$
Решим методом Якоби следующую СЛАУ с показателем точности $ε = 10^{−3}$:
$\begin{cases}\begin{matrix}10x_1 + x_2 − x_3 = 11\\x_1 + 10x_2−x_3 = 10\\−x_1 + x_2 + 10x_3 = 10\end{matrix}\end{cases}$
Прежде всего, следует привести систему уравнений к виду, удобному для итераций:
$\begin{cases}\begin{matrix}x_1 = −0,1x_2 + 0,1x_3 + 1,1\\x_2 = −0,1x_1 + 0,1x_3 + 1\\x_3 = 0,1x_1 − 0,1x_2 + 1\end{matrix}\end{cases}$
Начальное приближение (вектор правой части) выглядит так:
$x^{(0)} = \left(\begin{matrix}1,1\\1\\1\end{matrix}\right)$
Вычислим первую итерацию:
$x_1^{(1)} = −0,1 × 1 + 0,1 × 1 + 1,1 = 1,1\\x_2^{(1)} = −0,1 × 1,1 + 0,1 + 1 = 0,99\\x_3^{(1)} = 0,1 × 1,1 − 0,1 × 1 + 1=1,01$
Приближения к решению вычислим аналогично:
$x^{(2)} = \left(\begin{matrix}1,102\\0,991\\1,011\end{matrix}\right), x^{(3)} = \left(\begin{matrix}1,102\\0,9909\\1,0111\end{matrix}\right), x^{(4)} = \left(\begin{matrix}1,10202\\0,99091\\1,01111\end{matrix}\right), $
Выразим норму матрицы $В$ исходя из сумм модулей элементов каждой строки:
$\Vert B \Vert_∞ = 0,2$
Поскольку $0,2 \lt 1/2$, можно применить простой критерий окончания итерации:
$\Vert x^{(n+1)} − x^{(n)}\Vert \lt ε$
Определим нормы разности векторов:
$\Vert x^{(3)} − x^{(2)}\Vert_∞ = 0,002, \Vert x^{(4)} − x^{(3)}\Vert_∞ = 0,00002$
Найдя, что $\Vert x^{(4)} − x^{(3)}\Vert_∞ \lt ε$, мы можем сказать, что на 4-ой итерации достигнута заданная точность.
Ответ:
$x_1 = 1,102; x_2 = 0,991; x_3 = 1,101$
