Определитель матрицы – это число, являющееся её параметром-характеристикой. Через определитель выполняются многие действия, связанные с матрицами, например, поиск неизвестных из систем уравнений и не только.
В этой статье рассказано про получение определителя методом Гаусса, также иногда такой способ называют понижением порядка определителя. Помимо приведённого здесь способа также детерминант можно сосчитать через миноры или используя правила Саррюса и треугольников.
Свойства определителя квадратной матрицы
- Определитель транспонированной матрицы AT равен определителю матрицы A: |AT|=|A|
- Определитель квадратной матрицы с нулевой строчкой или столбцом равен нулю.
- Перемещая какие-то строчки или столбцы матрицы на места друг друга, знак определителя изменится на противоположный.
- Наличие одинаковых строчек, или таких строчек, которые станут одинаковыми после вынесения коэффициента, делают её определитель нулевым.
- При умножении членов какой-то матричной строчки или столбца A на некий коэффициент k, определитель новой полученной матрицы является определителем произведения A и k.
- При сложении членов матрицы A, находящихся на одной строчке (или в одном столбце) с элементами другой её строчки или столбца, помноженными на некое число k, не равное нулю, определитель полученной матрицы будет иметь то же значение, что и определитель матрицы A.
- Определитель некой матрицы A равен сумме произведений членов какой-либо строчки или столбца на её алгебраические дополнения.
Алгоритм для подсчёта детерминанта методом Гаусса
Чтобы найти определитель матрицы методом Гаусса, необходимо:
- Привести матрицу к верхнетреугольной или нижнетреугольной форме используя разрешённые над матрицей преобразования, называемые также элементарными.
- Сосчитать произведение всех членов матрицы, принадлежащих главной матричной диагонали полученной треугольной матрицы (эта диагональ проходит слева-направо сверху-вниз). При осуществлении подсчётов для вычисления определителя матрицы методом Гаусса нужно помнить, что при перестановке строчек или столбцов необходимо поменять знак детерминанта в конце решения на противоположный.
Важно: не следует умножать или делить отдельные строчки матрицы на какие-либо числа во время процесса вычисления, так как это изменит итоговое значение. В случае же если всё же домножили строчку матрицы на какой-либо коэффициент, не забудьте вынести его обратное значение как множитель перед матрицей и домножить на это число итоговый ответ.
Найти определитель матрицы методом Гаусса.
A=(012345113)
Переставляем верхнюю и третью строчки и выносим знак минус после перестановки:
A=−(113012345012)
Затем умножаем первую строчку на 3 и вычитаю из второй:
A=−(11301−4012)
Вычитаем из третьей строчки вторую:
A=−(11301−4006)
Полученная матрица является нижнетреугольной, следовательно, теперь можно сосчитать её детерминант:
det(A)=−(1⋅1⋅6)=−6
Примените метод Гаусса для вычисления определителя матрицы 4 порядка:
A=(1234202335104100)
Сделаем перестановку крайнего столбца с последним и третьего столбец со вторым. Это не изменит знак конечного значения определителя, так как смена позиций применяется дважды:
A=(4321320201530014)
Вычитаю из первой строчки вторую:
A=(112−1320201530014)
Складываю умноженную на 3 верхнюю строчку со второй:
A=(112−10−1−6501530014)
Прибавляю к предпоследней строке вторую:
A=(112−10−1−6500−180014)
Прибавляю к нижней строчке предпоследнюю:
A=(112−10−1−6500−1800012)
Матрица стала треугольной, теперь найдём её детерминант:
det(A)=1⋅(−1)⋅(−1)⋅12=12.
