Матрицы: примеры с решением и объяснением

Матрицы представляют собой таблицы чисел, взаимосвязанных между собой. Над ними возможно проводить ряд разнообразных операций, о которых мы расскажем вам ниже.

Размер матрицы определяется её порядками — количеством строчек $m$ и столбцов $n$, которые в ней присутствуют. Строчки образованы элементами, стоящими на горизонтальных линиях, а столбцы — элементами, стоящими на прямых вертикальных линиях. В случае если количество строчек эквивалентно количеству столбцов — порядок рассматриваемой таблички определяется лишь одним значением $m = n$.

Сложение и вычитание

Итак, о сложении и вычитании. Эти действия возможно проводить только с матрицами одинакового размера.

Для того чтобы осуществить эти действия, необходимо провести сложение или вычитание каждого элемента матрицы с элементом другой матрицы, стоящим на той же позиции, что элемент в первой.

В качестве примера найдём сумму $A+B$, где:

$A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \\ \end{pmatrix}$

и $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33}\\ \end{pmatrix}$

Сумма любого элемента новой полученной матричной таблички $A + B$ равна $a_{ij} + b_{ij}$, например, элемент с индексом $11$ равен $a_{11} + b_{11}$,а весь результат целиком выглядит так:

$A + B = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+ b_{13} \\ a_{21}+ b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+ b_{23} \\ a_{31}+ b_{31} & a_{32}+ b_{32} & a_{33} + b_{33} \\ \end{pmatrix}$

Вычитание для двух матриц $A-B$ осуществляется аналогично, но каждый элемент новой матрицы результата будет вычисляться по формуле $a_{ij} – b_{ij}$.

Обратите внимание, что сложение и вычитание для матриц возможно осуществлять только если их порядки одинаковые.

Умножение матрицы на число

Для того чтобы произвести умножение матричной таблички на какое-либо число, нужно каждый её элемент умножить на это число, то есть любой элемент новой матрицы $C$, являющейся результатом произведения $A$ на $λ$ будет равен $с_{ij}=λ \cdot a_{ij}$.

Произведение матричных таблиц

Эта задача несколько сложнее предыдущих, но при этом в ней также нет ничего сложного.

Для осуществления умножения двух матриц $A \cdot B$ количество столбцов в $A$ должно совпадать с количеством строчек в $B$.

Математически это можно записать так:

$A_{m \times n}\cdot B_{n \times p} = С_{m \times p}$

То есть видя перемножаемые исходные матрицы можно сразу определить порядки получаемой новой. Например, если необходимо перемножить $A_{3 \times 2}$ и $B_{2 \times 3}$ — полученный результат будет иметь размер $3 \times 3$:

$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} &b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} &b_{33} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} • & • & • \\ • & • & • \\ • & • & • \\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} (a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21}) & (a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22}) & (a_{11}b_{13} + a_{12}b_{23}) \\ (a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21}) & (a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22}) & (a_{11}b_{13} + a_{22}b_{23}) \\ (a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21}) & (a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22}) & (a_{31}b_{13} + a_{32}b_{23}) \\ \end{pmatrix}$

Если число столбцов первого матричного множителя не совпадает с количеством строчек второго матричного множителя, то умножение выполнить невозможно.

Нахождение определителя матрицы

Определитель матрицы обозначается как $Δ$ или $\det$.

В простейшем случае, когда матрица состоит из всего одного элемента, её определитель равен этому элементу: $det A = |a_{11}|= a_{11}$

Вычислить определитель от матрицы порядка двух можно следуя такому правилу:

В случае если определитель матрицы задан размером $3 \times 3$, то найти его можно используя мнемонические правила: Саррюса или треугольников, также можно разложить матрицу по строчке или столбцу или воспользоваться преобразованиями Гаусса.

Для определителей большего размера можно использовать преобразования Гаусса и разложение по строчке.

Обратные матрицы

По аналогии с обычным умножением числа на обратное ему число $(1+\frac1x= 1)$, умножение обратной матрицы $A^{-1}$ на исходную матрицу даёт в результате единичную матрицу $E$.

Самый простой метод решения при поиске обратной матрицы — Жордана-Гаусса. Рядом с матрицей-подопытным кроликом записывается единичная того же размера, а затем исходная с помощью преобразований приводится к единичной, причём все выполняемые действия повторяются и с $E$.

Транспонирование матричных таблиц

Транспонирование — это смена строк и столбцов в матрице или определителе местами с сохранением их исходного порядка. Определитель траспонированной матричной таблички $A^T$ будет равен определителю исходной матрицы $A$.