В теории матриц часто встречаются понятия равенства и эквивалентности матриц.
Матрица $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n} $ называется равной матрице $B=\left(b_{ij} \right)_{k\times l} $, если их размерности совпадают $(m=k,n=l)$ и соответствующие элементы сравниваемых матриц равны между собой.
Для матриц 2-го порядка, записанных в общем виде, равенство матриц можно записать следующим образом:
\[A=\left(\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {b_{11} } & {b_{12} } \\ {b_{21} } & {b_{22} } \end{array}\right)\] \[A=B\Rightarrow a_{11} =b_{11} ,a_{12} =b_{12} ,a_{21} =b_{21} ,a_{22} =b_{22} .\]Даны матрицы:
1) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)$;
2) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)$;
3) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {4} \\ {1} & {3} \end{array}\right)$.
Определить, равны ли матрицы.
Решение:
1) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)$
Матрицы А и В имеют одинаковый порядок, равный 2$\times $2. Соответствующие элементы сравниваемых матриц равны, следовательно, матрицы равны.
2) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)$
Матрицы А и В имеют разный порядок, равный 2$\times $2 и 2$\times $1 соответственно.
3) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {4} \\ {1} & {3} \end{array}\right)$
Матрицы А и В имеют одинаковый порядок, равный 2$\times $2. Однако не все соответствующие элементы сравниваемых матриц равны, следовательно, матрицы не являются равными.
Элементарное преобразование матрицы -- это такое преобразование, в результате которого сохраняется эквивалентность матриц. Другими словами, элементарное преобразование не изменяет множества решений системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которую представляет данная матрица.
К элементарным преобразованиям строк матриц относятся:
- умножение строки матрицы на число $k$, не равное нулю (определитель матрицы при этом увеличивается в $k$ раз);
- перестановка местами двух любых строк матрицы;
- прибавление к элементам одной строки матрицы элементов другой ее строки.
То же самое применимо и к столбцам матрицы и называется элементарными преобразованиями столбцов.
Если от матрицы А с помощью элементарного преобразования перешли к матрице В, то исходная и полученная матрицы называются эквивалентными. Для обозначения эквивалентности матриц используют знак «$ \sim$», например, $A\sim B$.
Дана матрица: $A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$.
Выполнить по очереди элементарные преобразования строк матрицы.
Решение:
Поменяем местами первую строку и вторую строку матрицы А:
\[A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\]Умножим первую строку матрицы В на число 2:
\[B=\left(\begin{array}{ccc} {2\cdot 1} & {2\cdot 0} & {2\cdot 3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {0} & {6} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim C=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {0} & {6} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\]Сложим первую строку со второй строкой матрицы:
\[C=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {0} & {6} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim D=\left(\begin{array}{ccc} {2+(-2)} & {0+1} & {6+4} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {10} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\]Ступенчатая матрица -- это матрица, которая удовлетворяет следующим условиям:
- при наличии в матрице нулевой строки все строки, находящиеся ниже ее, тоже являются нулевыми;
- первый ненулевой элемент каждой ненулевой строки должен быть расположен строго правее ведущего элемента в строке, которая находится выше данной.
Матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {0} & {2} & {7} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right)$ и $B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {0} & {2} & {7} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)$ являются ступенчатыми матрицами.
Привести матрицу к ступенчатому виду можно с помощью эквивалентных преобразований.
Дана матрица: $A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$. Выполнить приведение матрицы к ступенчатому виду.
Решение:
Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А:
\[A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\]Умножим первую строку матрицы В на число 2 и сложим ее со второй строкой:
\[B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim C=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\]Умножим первую строку матрицы С на число -1 и сложим ее с третьей строкой:
\[C=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim D=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {2} & {0} \end{array}\right)\]Умножим вторую строку матрицы D на число -2 и сложим ее с третьей строкой:
\[D=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {2} & {0} \end{array}\right)\sim K=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {0} & {-20} \end{array}\right)\]$K=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {0} & {-20} \end{array}\right)$ - матрица ступенчатого вида.
