Равенство матриц, эквивалентные матрицы

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

В теории матриц часто встречаются понятия равенства и эквивалентности матриц.

Определение 1

Матрица $A=\left(a_{ij} \right)_{m\times n}$ называется равной матрице $B=\left(b_{ij} \right)_{k\times l}$ , если их размерности совпадают $(m=k,n=l)$ и соответствующие элементы сравниваемых матриц равны между собой.

Для матриц 2-го порядка, записанных в общем виде, равенство матриц можно записать следующим образом:

$A=\left(\begin{array}{cc} {a_{11} } & {a_{12} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {b_{11} } & {b_{12} } \\ {b_{21} } & {b_{22} } \end{array}\right)$

$A=B\Rightarrow a_{11} =b_{11} ,a_{12} =b_{12} ,a_{21} =b_{21} ,a_{22} =b_{22} .$

Пример 1

Даны матрицы:

1) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)$ ;

2) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)$ ;

3) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {4} \\ {1} & {3} \end{array}\right)$ .

Определить, равны ли матрицы.

Решение:

1) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right)$

Матрицы А и В имеют одинаковый порядок, равный 2 $\times$ 2. Соответствующие элементы сравниваемых матриц равны, следовательно, матрицы равны.

2) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c} {-3} \\ {2} \end{array}\right)$

Матрицы А и В имеют разный порядок, равный 2 $\times$ 2 и 2 $\times$ 1 соответственно.

3) $A=\left(\begin{array}{cc} {2} & {0} \\ {-1} & {3} \end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc} {2} & {4} \\ {1} & {3} \end{array}\right)$

Матрицы А и В имеют одинаковый порядок, равный 2 $\times$ 2. Однако не все соответствующие элементы сравниваемых матриц равны, следовательно, матрицы не являются равными.

«Равенство матриц, эквивалентные матрицы» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Определение 2

Элементарное преобразование матрицы -- это такое преобразование, в результате которого сохраняется эквивалентность матриц. Другими словами, элементарное преобразование не изменяет множества решений системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), которую представляет данная матрица.

К элементарным преобразованиям строк матриц относятся:

умножение строки матрицы на число $k$ , не равное нулю (определитель матрицы при этом увеличивается в $k$ раз);
перестановка местами двух любых строк матрицы;
прибавление к элементам одной строки матрицы элементов другой ее строки.

То же самое применимо и к столбцам матрицы и называется элементарными преобразованиями столбцов.

Определение 3

Если от матрицы А с помощью элементарного преобразования перешли к матрице В, то исходная и полученная матрицы называются эквивалентными. Для обозначения эквивалентности матриц используют знак « $\sim$ », например, $A\sim B$ .

Пример 2

Дана матрица: $A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$ .

Выполнить по очереди элементарные преобразования строк матрицы.

Решение:

Поменяем местами первую строку и вторую строку матрицы А:

$A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$

Умножим первую строку матрицы В на число 2:

$B=\left(\begin{array}{ccc} {2\cdot 1} & {2\cdot 0} & {2\cdot 3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {0} & {6} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim C=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {0} & {6} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$

Сложим первую строку со второй строкой матрицы:

$C=\left(\begin{array}{ccc} {2} & {0} & {6} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim D=\left(\begin{array}{ccc} {2+(-2)} & {0+1} & {6+4} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {1} & {10} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$

Определение 4

Ступенчатая матрица -- это матрица, которая удовлетворяет следующим условиям:

при наличии в матрице нулевой строки все строки, находящиеся ниже ее, тоже являются нулевыми;
первый ненулевой элемент каждой ненулевой строки должен быть расположен строго правее ведущего элемента в строке, которая находится выше данной.

Пример 3

Матрицы $A=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {0} & {2} & {7} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right)$ и $B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {2} & {3} \\ {0} & {2} & {7} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)$ являются ступенчатыми матрицами.

Замечание

Привести матрицу к ступенчатому виду можно с помощью эквивалентных преобразований.

Пример 4

Дана матрица: $A=\left(\begin{array}{ccc} {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {0} & {3} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$ . Выполнить приведение матрицы к ступенчатому виду.

Решение:

Поменяем местами первую и вторую строки матрицы А:

Умножим первую строку матрицы В на число 2 и сложим ее со второй строкой:

$B=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {-2} & {1} & {4} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim C=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)$

Умножим первую строку матрицы С на число -1 и сложим ее с третьей строкой:

$C=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {1} & {2} & {3} \end{array}\right)\sim D=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {2} & {0} \end{array}\right)$

Умножим вторую строку матрицы D на число -2 и сложим ее с третьей строкой:

$D=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {2} & {0} \end{array}\right)\sim K=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {0} & {-20} \end{array}\right)$

$K=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {3} \\ {0} & {1} & {10} \\ {0} & {0} & {-20} \end{array}\right)$ - матрица ступенчатого вида.