Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Как вынести число из-под корня

Как выносить из под корня число

Часто вынесение множителя (числа) из под знака корня может быть необходимо для совершения каких-либо арифметических операций, например, для сокращения дроби или вынесения общего множителя и дальнейшего преобразования выражения.

Давайте рассмотрим основные арифметические правила и определения, необходимые для того, чтобы понять, как вынести число из под корня.

Необходимые операции и определения

Разложение выражения на множители — это преобразование этого числа в произведение нескольких сомножителей без изменения значения исходного выражения.

Это довольно частая операция, необходимая для вынесения множителя из-под знака корня.

Для разложения на множители используются следующие приёмы:

  • Вынесение за скобки общего множителя;
  • Группировка множителей;
  • Применение формул сокращённого умножения;
  • Комбинация вышеизложенных методов.

При вынесении за скобки общего множителя для начала нужно определить множитель, который можно вынести, а затем разделить всё выражение на этот множитель и записать результат частного рядом со множителем как произведение, например:

6x28xy+4x=2x3x2x4y+2x2=2x(3x4y+2).

Также для вынесения множителя используются формулы сокращённого умножения, например:

(x+y)2=x2+2xy+y2.

Оба продемонстрированных выше метода можно комбинировать.

Свойства корня

Теперь перейдём к более детальному рассмотрению корня.

Определение 1

Корнем n-нной степени из числа b называют число, которое нужно возвести в n-нную степень чтобы получить число b:

nb=m.

Замечание 1

Процесс получения корня называется его извлечением.

Левая часть равенства вида nb=m называется радикалом, то, что стоит непосредственно под знаком корня — подкоренным выражением, а число, стоящее слева сверху перед знаком корня называется показателем корня.

«Как вынести число из-под корня» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Правая же часть равенства после знака «равно» называется корнем n-нной степени из числа b.

При извлечении числа из-под корня нужно учитывать то, что в случае с корнем нечётной степени возможен лишь один ответ, математически это запишется так: nx=b, тогда как в случае с извлечением корня чётной степени ответа будет два, причём один с положительным знаком, а другой с отрицательным, это записывается так: nx=±b.

Также существует ещё одна теорема, которую нужно знать при вынесении множителя из-под знака корня:

Теорема 1

Для извлечения корня n-ой степени из произведения, моно извлечь его из каждого сомножителя отдельно, а результаты перемножить. Математически это запишется так: nxyz=nxnynz(1).

Докажем эту теорему для случая если под корнем стоит положительное число, а степень n является нечётной.

Для этого используем определение корня. У нас есть следующее равенство: na=b. Из определения корня получается, что bn=a, соответственно, возведя b в степень n мы получим подкоренное значение, здесь это a.

Применим эту логику к равенству (1).

Для этого возведём в степень правую часть равенства. Но для того чтобы сделать это, необходимо возвести в степень произведение, а для этого нужно возвести в степень каждый сомножитель и затем перемножить их все между собой:

(nxnynz)n=(nx)n(ny)n(nz)n=xyz

Получилось выражение, стоящее под знаком корня, а это значит, что теорема доказана.

Правила вынесения множителя из под знака корня

Определение 2

Вынесение множителя из-под знака корня n-ой степени — это упрощение выражения с помощью записи какого-либо множителя, являющегося частью подкоренного выражения, перед знаком корня. Например, 6192=6643=263.

Для вынесения множителей из-под знака корня необходимо показатель выносимого множителя разделить на показатель корня и разместить перед корнем этот множитель с тем показателем степени, который получится в результате этого деления:

nxmy=ymnnx

В частном случае, если приходится иметь дело с квадртным корнем, степень множителя, который необходимо вынести, нужно разделить на два, а сам множитель записать перед знаком корня:

xmy=ym2x

В случае если приходится иметь дело с множителем-дробью, можно извлечь по отдельности корень из числителя и знаменателя, например:

364x343=364x3343=473x

Общий порядок вынесения множителя из под корня такой:

  1. Сначала подкоренное значение раскладывается на множители непосредственно под знаком корня, а у этих множителей выделяются показатели степени.
  2. Затем показатель степени при множителе делится на показатель корня, а сам выносимый множитель записывается слева от радикала.
Пример 1

Вынесите множитель из-под знака корня в следующих выражениях:

72x;7128x14y3;(a+b)27x3;x750.

  1. 72x=362x=362x=62x.
  2. 7128x14y3=71287x147y3=2x7y3.
  3. (a+b)27x3=(a+b)27xx2=x(a+b)7x.
  4. x750=125103x=1530x.
Дата последнего обновления статьи: 13.02.2025
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Как вынести число из-под корня"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant