Как вынести число из-под корня

Как выносить из под корня число

Часто вынесение множителя (числа) из под знака корня может быть необходимо для совершения каких-либо арифметических операций, например, для сокращения дроби или вынесения общего множителя и дальнейшего преобразования выражения.

Давайте рассмотрим основные арифметические правила и определения, необходимые для того, чтобы понять, как вынести число из под корня.

Необходимые операции и определения

Разложение выражения на множители — это преобразование этого числа в произведение нескольких сомножителей без изменения значения исходного выражения.

Это довольно частая операция, необходимая для вынесения множителя из-под знака корня.

Для разложения на множители используются следующие приёмы:

• Вынесение за скобки общего множителя;
• Группировка множителей;
• Применение формул сокращённого умножения;
• Комбинация вышеизложенных методов.

При вынесении за скобки общего множителя для начала нужно определить множитель, который можно вынести, а затем разделить всё выражение на этот множитель и записать результат частного рядом со множителем как произведение, например:

$6x^2 – 8xy +4x = 2x \cdot 3x - 2x \cdot 4y + 2x \cdot 2 = 2x \cdot (3x - 4y + 2)$.

Также для вынесения множителя используются формулы сокращённого умножения, например:

$(x + y)^2 = x^2 +2xy + y^2$.

Оба продемонстрированных выше метода можно комбинировать.

Свойства корня

Теперь перейдём к более детальному рассмотрению корня.

$\sqrt[n]{b}= m$.

Левая часть равенства вида $\sqrt[n]{b} = m$ называется радикалом, то, что стоит непосредственно под знаком корня — подкоренным выражением, а число, стоящее слева сверху перед знаком корня называется показателем корня.

Правая же часть равенства после знака «равно» называется корнем $n$-нной степени из числа $b$.

При извлечении числа из-под корня нужно учитывать то, что в случае с корнем нечётной степени возможен лишь один ответ, математически это запишется так: $\sqrt[n]{x} = b$, тогда как в случае с извлечением корня чётной степени ответа будет два, причём один с положительным знаком, а другой с отрицательным, это записывается так: $\sqrt[n]{x} = ±b$.

Также существует ещё одна теорема, которую нужно знать при вынесении множителя из-под знака корня:

Докажем эту теорему для случая если под корнем стоит положительное число, а степень $n$ является нечётной.

Для этого используем определение корня. У нас есть следующее равенство: $\sqrt[n]{a} = b$. Из определения корня получается, что $b^n = a$, соответственно, возведя $b$ в степень $n$ мы получим подкоренное значение, здесь это $a$.

Применим эту логику к равенству $(1)$.

Для этого возведём в степень правую часть равенства. Но для того чтобы сделать это, необходимо возвести в степень произведение, а для этого нужно возвести в степень каждый сомножитель и затем перемножить их все между собой:

$(\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}\sqrt[n]{z})^n= (\sqrt[n]{x})^n(\sqrt[n]{y})^n(\sqrt[n]{z})^n=x \cdot y \cdot z$

Получилось выражение, стоящее под знаком корня, а это значит, что теорема доказана.

Правила вынесения множителя из под знака корня

Для вынесения множителей из-под знака корня необходимо показатель выносимого множителя разделить на показатель корня и разместить перед корнем этот множитель с тем показателем степени, который получится в результате этого деления:

$\sqrt[n]{x^my} = y^{\frac{m}{n}} \cdot \sqrt[n]{x}$

В частном случае, если приходится иметь дело с квадртным корнем, степень множителя, который необходимо вынести, нужно разделить на два, а сам множитель записать перед знаком корня:

$\sqrt{x^my} = y^{\frac{m}{2}} \cdot \sqrt{x}$

В случае если приходится иметь дело с множителем-дробью, можно извлечь по отдельности корень из числителя и знаменателя, например:

$\sqrt[3]{\frac{64x}{343}}= \frac{\sqrt[3]{64x}}{\sqrt[3]{343}}= \frac{4}{7}\sqrt[3]{x}$

Общий порядок вынесения множителя из под корня такой:

1. Сначала подкоренное значение раскладывается на множители непосредственно под знаком корня, а у этих множителей выделяются показатели степени.
2. Затем показатель степени при множителе делится на показатель корня, а сам выносимый множитель записывается слева от радикала.