Как выносить из под корня число
Часто вынесение множителя (числа) из под знака корня может быть необходимо для совершения каких-либо арифметических операций, например, для сокращения дроби или вынесения общего множителя и дальнейшего преобразования выражения.
Давайте рассмотрим основные арифметические правила и определения, необходимые для того, чтобы понять, как вынести число из под корня.
Необходимые операции и определения
Разложение выражения на множители — это преобразование этого числа в произведение нескольких сомножителей без изменения значения исходного выражения.
Это довольно частая операция, необходимая для вынесения множителя из-под знака корня.
Для разложения на множители используются следующие приёмы:
- Вынесение за скобки общего множителя;
- Группировка множителей;
- Применение формул сокращённого умножения;
- Комбинация вышеизложенных методов.
При вынесении за скобки общего множителя для начала нужно определить множитель, который можно вынести, а затем разделить всё выражение на этот множитель и записать результат частного рядом со множителем как произведение, например:
6x2–8xy+4x=2x⋅3x−2x⋅4y+2x⋅2=2x⋅(3x−4y+2).
Также для вынесения множителя используются формулы сокращённого умножения, например:
(x+y)2=x2+2xy+y2.
Оба продемонстрированных выше метода можно комбинировать.
Свойства корня
Теперь перейдём к более детальному рассмотрению корня.
Корнем n-нной степени из числа b называют число, которое нужно возвести в n-нную степень чтобы получить число b:
n√b=m.
Процесс получения корня называется его извлечением.
Левая часть равенства вида n√b=m называется радикалом, то, что стоит непосредственно под знаком корня — подкоренным выражением, а число, стоящее слева сверху перед знаком корня называется показателем корня.
Правая же часть равенства после знака «равно» называется корнем n-нной степени из числа b.
При извлечении числа из-под корня нужно учитывать то, что в случае с корнем нечётной степени возможен лишь один ответ, математически это запишется так: n√x=b, тогда как в случае с извлечением корня чётной степени ответа будет два, причём один с положительным знаком, а другой с отрицательным, это записывается так: n√x=±b.
Также существует ещё одна теорема, которую нужно знать при вынесении множителя из-под знака корня:
Для извлечения корня n-ой степени из произведения, моно извлечь его из каждого сомножителя отдельно, а результаты перемножить. Математически это запишется так: n√xyz=n√xn√yn√z(1).
Докажем эту теорему для случая если под корнем стоит положительное число, а степень n является нечётной.
Для этого используем определение корня. У нас есть следующее равенство: n√a=b. Из определения корня получается, что bn=a, соответственно, возведя b в степень n мы получим подкоренное значение, здесь это a.
Применим эту логику к равенству (1).
Для этого возведём в степень правую часть равенства. Но для того чтобы сделать это, необходимо возвести в степень произведение, а для этого нужно возвести в степень каждый сомножитель и затем перемножить их все между собой:
(n√xn√yn√z)n=(n√x)n(n√y)n(n√z)n=x⋅y⋅z
Получилось выражение, стоящее под знаком корня, а это значит, что теорема доказана.
Правила вынесения множителя из под знака корня
Вынесение множителя из-под знака корня n-ой степени — это упрощение выражения с помощью записи какого-либо множителя, являющегося частью подкоренного выражения, перед знаком корня. Например, 6√192=6√64⋅3=26√3.
Для вынесения множителей из-под знака корня необходимо показатель выносимого множителя разделить на показатель корня и разместить перед корнем этот множитель с тем показателем степени, который получится в результате этого деления:
n√xmy=ymn⋅n√x
В частном случае, если приходится иметь дело с квадртным корнем, степень множителя, который необходимо вынести, нужно разделить на два, а сам множитель записать перед знаком корня:
√xmy=ym2⋅√x
В случае если приходится иметь дело с множителем-дробью, можно извлечь по отдельности корень из числителя и знаменателя, например:
3√64x343=3√64x3√343=473√x
Общий порядок вынесения множителя из под корня такой:
- Сначала подкоренное значение раскладывается на множители непосредственно под знаком корня, а у этих множителей выделяются показатели степени.
- Затем показатель степени при множителе делится на показатель корня, а сам выносимый множитель записывается слева от радикала.
Вынесите множитель из-под знака корня в следующих выражениях:
√72x;7√128x14y3;√(a+b)27x3;√x750.
- √72x=√36⋅2x=√36√2x=6√2x.
- 7√128x14y3=7√1287√x147√y3=2x7√y3.
- √(a+b)27x3=√(a+b)2√7√x⋅x2=x(a+b)√7x.
- √x750=√125⋅10⋅3√x=15√30x.