Если в знаменателе дроби стоит знак корня, то про него говорят, что в нём содержится иррациональность.
Процесс видоизменения выражения с помощью тождественных преобразований называется освобождением от иррациональности в знаменателе.
Существует два основных приёма, которые используют чтобы произвести освобождение от иррациональности в знаменателе:
Если знаменатель имеет вид $\sqrt{a}$, то избавления от иррациональности в знаменателе дроби можно добиться домножив её на единицу, записанную в виде $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}$, например $\frac{b}{\sqrt{a}}=\frac{b}{\sqrt{a}} \cdot \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}}=\frac{b \sqrt{a}}{a}$.
Если же в знаменателе стоит выражение вида $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ или $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$, то для избавления от иррациональности всю дробь, то есть, и числитель, и знаменатель, нужно домножить на $(\sqrt{a} + \sqrt{b})$ или $(\sqrt{a} - \sqrt{b})$ сооветственно. Сделав это, вы получите разность квадратов двух чисел:
$\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}=\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a-b}$.
Эти методы можно использовать не только чтобы произвести избавление от иррациональности в знаменателе, но и при необходимости для числителя.
Как избавиться от иррациональности в знаменателе мы с вами уже узнали, теперь о том, зачем это нужно.
Избавление от иррациональности в знаменателе нужно для облегчения тождественных преобразований алгебраических выражений, а также для выполнения более простого деления.
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
$\frac{5}{\sqrt{5}}$;
$\frac{3} {\sqrt{5} - \sqrt{2}}$.
Решение:
$\frac{5}{\sqrt{5}}= \frac{5}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{5\sqrt{5}}{5}=\sqrt{5}$;
$\frac{3} {\sqrt{5} - \sqrt{2}}= \frac{3 \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2})}{(\sqrt{5} - \sqrt{2}) \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{2}) }=\frac{3 \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{2})}{5-2}= \sqrt{5}+\sqrt{2}$.
