Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$. Обозначение: $z=f(x,y)$.
Рассмотрим функцию $z=f(x,y)$, которая определена в некоторой области в пространстве $Oxy$.
Производной заданной функции $z=f(x,y)$ в направлении некоторого вектора $\overrightarrow{s} =(s_{x} ,s_{y} )$ называется выражение следующего вида:
\[\frac{\partial z}{\partial s} =\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \cos \alpha +\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \cos \beta ,\]где $\cos \alpha ,\cos \beta $ являются направляющими косинусами заданного вектора $\overrightarrow{s} $. При этом
\[\cos \alpha =\frac{s_{x} }{|\overrightarrow{s|} } ,\cos \beta =\frac{s_{y} }{|\overrightarrow{s|} } ,|\overrightarrow{s|} =\sqrt{s_{x}^{2} +s_{y}^{2} } .\]Нахождение производной заданной функции
\[z=x^{2} +2y^{2} \]в направлении вектора $\overrightarrow{s} =2\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} $.
Решение:
Найдем по формуле $|\overrightarrow{s} |=\sqrt{s_{x}^{2} +s_{y}^{2} } $ длину вектора $\overrightarrow{s} $:
\[|\overrightarrow{s} |=\sqrt{2^{2} +1^{2} } =\sqrt{4+1} =\sqrt{5} .\]Найдем по формулам направляющие косинусы:
\[\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5} } ;\cos \beta =\frac{1}{\sqrt{5} } .\]Следовательно,
\[\frac{\partial z}{\partial s} =\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{2}{\sqrt{5} } +\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{1}{\sqrt{5} } .\]Частные производные имеют вид:
\[\frac{\partial z}{\partial x} =2x;\frac{\partial z}{\partial y} =4y.\]Окончательно получаем:
\[\frac{\partial z}{\partial s} =2x\cdot \frac{2}{\sqrt{5} } +4y\cdot \frac{1}{\sqrt{5} } =\cdot \frac{4x}{\sqrt{5} } +\frac{4y}{\sqrt{5} } .\]Нахождение производной заданной функции
\[z=x+y^{2} \]в точке $M(1;2)$ направлении вектора $\overrightarrow{s} =3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j} $.
Решение:
Найдем по формуле $|\overrightarrow{s} |=\sqrt{s_{x}^{2} +s_{y}^{2} } $ длину вектора $\overrightarrow{s} $:
\[|\overrightarrow{s} |=\sqrt{3^{2} +2^{2} } =\sqrt{9+4} =\sqrt{13} .\]Найдем по формулам направляющие косинусы:
\[\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{13} } ;\cos \beta =\frac{2}{\sqrt{13} } .\]Следовательно,
\[\frac{\partial z}{\partial s} =\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{3}{\sqrt{13} } +\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{2}{\sqrt{13} } .\]Частные производные имеют вид:
\[\frac{\partial z}{\partial x} =1;\frac{\partial z}{\partial y} =2y.\]Производные в точке $M(1;2)$:
\[\frac{\partial z}{\partial x} =1;\frac{\partial z}{\partial y} =2\cdot 2=4.\]Окончательно получаем:
\[\left(\frac{\partial z}{\partial s} \right)_{M(1;2)} =1\cdot \frac{3}{\sqrt{13} } +4\cdot \frac{2}{\sqrt{13} } =\frac{3}{\sqrt{13} } +\frac{8}{\sqrt{13} } =\frac{11}{\sqrt{13} } .\]Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z)$.
Рассмотрим функцию $w=f(x,y,z)$, которая определена в некоторой области в пространстве $Oxyz$.
Производной заданной функции $w=f(x,y,z)$ в направлении некоторого вектора $\overrightarrow{s} =(s_{x} ,s_{y} ,s_{z} )$ называется выражение следующего вида:
\[\frac{\partial w}{\partial s} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \cos \alpha +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \cos \beta +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \cos \gamma ,\]где $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma $ являются направляющими косинусами заданного вектора $\overrightarrow{s} $. При этом
\[\cos \alpha =\frac{s_{x} }{|\overrightarrow{s|} } ,\cos \beta =\frac{s_{y} }{|\overrightarrow{s|} } ,\cos \gamma =\frac{s_{z} }{|\overrightarrow{s|} } ,|\overrightarrow{s|} =\sqrt{s_{x}^{2} +s_{y}^{2} +s_{z}^{2} } .\]Производная заданной функции по направлению некоторого вектора $\overrightarrow{s} $ представляет собой скорость изменения данной функции в заданном направлении.
Нахождение производной заданной функции
\[w=x^{2} +2y^{2} +2z\]в направлении вектора $\overrightarrow{s} =2\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} +2\overrightarrow{k} $.
Решение:
Найдем по формуле $|\overrightarrow{s} |=\sqrt{s_{x}^{2} +s_{y}^{2} +s_{z}^{2} } $ длину вектора $\overrightarrow{s} $:
\[|\overrightarrow{s} |=\sqrt{2^{2} +1^{2} +2^{2} } =\sqrt{4+1+4} =\sqrt{9} =3.\]Найдем по формулам направляющие косинусы:
\[\cos \alpha =\frac{2}{3} ;\cos \beta =\frac{1}{3} ;\cos \gamma =\frac{2}{3} .\]Следовательно,
\[\frac{\partial w}{\partial s} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{2}{3} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{1}{3} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{2}{3} .\]Частные производные имеют вид:
\[\frac{\partial w}{\partial x} =2x;\frac{\partial w}{\partial y} =4y;\frac{\partial w}{\partial z} =2.\]Окончательно получаем:
\[\frac{\partial w}{\partial s} =2x\cdot \frac{2}{3} +4y\cdot \frac{1}{3} +2\cdot \frac{2}{3} =\frac{4x}{3} +\frac{4y}{3} +\frac{4}{3} .\]Нахождение производной заданной функции
\[w=x^{2} +2y^{2} +2z^{3} \]в точке $M(1;2;1)$ направлении вектора $\overrightarrow{s} =2\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} +2\overrightarrow{k} $.
Решение:
Найдем по формуле $|\overrightarrow{s} |=\sqrt{s_{x}^{2} +s_{y}^{2} +s_{z}^{2} } $ длину вектора $\overrightarrow{s} $:
\[|\overrightarrow{s} |=\sqrt{2^{2} +1^{2} +2^{2} } =\sqrt{4+1+4} =\sqrt{9} =3.\]Найдем по формулам направляющие косинусы:
\[\cos \alpha =\frac{2}{3} ;\cos \beta =\frac{1}{3} ;\cos \gamma =\frac{2}{3} .\]Следовательно,
\[\frac{\partial w}{\partial s} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{2}{3} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{1}{3} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{2}{3} .\]Частные производные имеют вид:
\[\frac{\partial w}{\partial x} =2x;\frac{\partial w}{\partial y} =4y;\frac{\partial w}{\partial z} =6z^{2} .\]Производные в точке $M(1;2;1)$:
\[\frac{\partial w}{\partial x} =2\cdot 1=2;\frac{\partial w}{\partial y} =4\cdot 2=8;\frac{\partial w}{\partial z} =6\cdot 1^{2} =6.\]Окончательно получаем:
\[\frac{\partial w}{\partial s} =2\cdot \frac{2}{3} +8\cdot \frac{1}{3} +6\cdot \frac{2}{3} =\frac{4}{3} +\frac{12}{3} +\frac{12}{3} =\frac{28}{3} =9\frac{1}{3} .\]
