Производная по направлению

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$ , то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$ . Обозначение: $z=f(x,y)$ .

Рассмотрим функцию $z=f(x,y)$ , которая определена в некоторой области в пространстве $Oxy$ .

Определение 2

Производной заданной функции $z=f(x,y)$ в направлении некоторого вектора $\overrightarrow{s} =(s_{x} ,s_{y} )$ называется выражение следующего вида:

$\frac{\partial z}{\partial s} =\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \cos \alpha +\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \cos \beta ,$

где $\cos \alpha ,\cos \beta$ являются направляющими косинусами заданного вектора $\overrightarrow{s}$ . При этом

$\cos \alpha =\frac{s_{x} }{|\overrightarrow{s|} } ,\cos \beta =\frac{s_{y} }{|\overrightarrow{s|} } ,|\overrightarrow{s|} =\sqrt{s_{x}^{2} +s_{y}^{2} } .$

Пример 1

Нахождение производной заданной функции

$z=x^{2} +2y^{2}$

в направлении вектора $\overrightarrow{s} =2\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j}$ .

Решение:

Найдем по формуле $|\overrightarrow{s} |=\sqrt{s_{x}^{2} +s_{y}^{2} }$ длину вектора $\overrightarrow{s}$ :

$|\overrightarrow{s} |=\sqrt{2^{2} +1^{2} } =\sqrt{4+1} =\sqrt{5} .$

Найдем по формулам направляющие косинусы:

$\cos \alpha =\frac{2}{\sqrt{5} } ;\cos \beta =\frac{1}{\sqrt{5} } .$

Следовательно,

$\frac{\partial z}{\partial s} =\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{2}{\sqrt{5} } +\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{1}{\sqrt{5} } .$

Частные производные имеют вид:

$\frac{\partial z}{\partial x} =2x;\frac{\partial z}{\partial y} =4y.$

Окончательно получаем:

$\frac{\partial z}{\partial s} =2x\cdot \frac{2}{\sqrt{5} } +4y\cdot \frac{1}{\sqrt{5} } =\cdot \frac{4x}{\sqrt{5} } +\frac{4y}{\sqrt{5} } .$

«Производная по направлению» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Помощь с рефератом от нейросети

Написать ИИ

Пример 2

Нахождение производной заданной функции

$z=x+y^{2}$

в точке $M(1;2)$ направлении вектора $\overrightarrow{s} =3\overrightarrow{i} +2\overrightarrow{j}$ .

Решение:

Найдем по формуле $|\overrightarrow{s} |=\sqrt{s_{x}^{2} +s_{y}^{2} }$ длину вектора $\overrightarrow{s}$ :

$|\overrightarrow{s} |=\sqrt{3^{2} +2^{2} } =\sqrt{9+4} =\sqrt{13} .$

Найдем по формулам направляющие косинусы:

$\cos \alpha =\frac{3}{\sqrt{13} } ;\cos \beta =\frac{2}{\sqrt{13} } .$

Следовательно,

$\frac{\partial z}{\partial s} =\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{3}{\sqrt{13} } +\frac{\partial z}{\partial y} \cdot \frac{2}{\sqrt{13} } .$

Частные производные имеют вид:

$\frac{\partial z}{\partial x} =1;\frac{\partial z}{\partial y} =2y.$

Производные в точке $M(1;2)$ :

$\frac{\partial z}{\partial x} =1;\frac{\partial z}{\partial y} =2\cdot 2=4.$

Окончательно получаем:

$\left(\frac{\partial z}{\partial s} \right)_{M(1;2)} =1\cdot \frac{3}{\sqrt{13} } +4\cdot \frac{2}{\sqrt{13} } =\frac{3}{\sqrt{13} } +\frac{8}{\sqrt{13} } =\frac{11}{\sqrt{13} } .$

Определение 3

Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$ , то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z)$ .

Рассмотрим функцию $w=f(x,y,z)$ , которая определена в некоторой области в пространстве $Oxyz$ .

Определение 4

Производной заданной функции $w=f(x,y,z)$ в направлении некоторого вектора $\overrightarrow{s} =(s_{x} ,s_{y} ,s_{z} )$ называется выражение следующего вида:

$\frac{\partial w}{\partial s} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \cos \alpha +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \cos \beta +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \cos \gamma ,$

где $\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma$ являются направляющими косинусами заданного вектора $\overrightarrow{s}$ . При этом

$\cos \alpha =\frac{s_{x} }{|\overrightarrow{s|} } ,\cos \beta =\frac{s_{y} }{|\overrightarrow{s|} } ,\cos \gamma =\frac{s_{z} }{|\overrightarrow{s|} } ,|\overrightarrow{s|} =\sqrt{s_{x}^{2} +s_{y}^{2} +s_{z}^{2} } .$

Замечание 1

Производная заданной функции по направлению некоторого вектора $\overrightarrow{s}$ представляет собой скорость изменения данной функции в заданном направлении.

Пример 3

Нахождение производной заданной функции

$w=x^{2} +2y^{2} +2z$

в направлении вектора $\overrightarrow{s} =2\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} +2\overrightarrow{k}$ .

Решение:

Найдем по формуле $|\overrightarrow{s} |=\sqrt{s_{x}^{2} +s_{y}^{2} +s_{z}^{2} }$ длину вектора $\overrightarrow{s}$ :

$|\overrightarrow{s} |=\sqrt{2^{2} +1^{2} +2^{2} } =\sqrt{4+1+4} =\sqrt{9} =3.$

Найдем по формулам направляющие косинусы:

$\cos \alpha =\frac{2}{3} ;\cos \beta =\frac{1}{3} ;\cos \gamma =\frac{2}{3} .$

Следовательно,

$\frac{\partial w}{\partial s} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{2}{3} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{1}{3} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{2}{3} .$

Частные производные имеют вид:

$\frac{\partial w}{\partial x} =2x;\frac{\partial w}{\partial y} =4y;\frac{\partial w}{\partial z} =2.$

Окончательно получаем:

$\frac{\partial w}{\partial s} =2x\cdot \frac{2}{3} +4y\cdot \frac{1}{3} +2\cdot \frac{2}{3} =\frac{4x}{3} +\frac{4y}{3} +\frac{4}{3} .$

Пример 4

Нахождение производной заданной функции

$w=x^{2} +2y^{2} +2z^{3}$

в точке $M(1;2;1)$ направлении вектора $\overrightarrow{s} =2\overrightarrow{i} +\overrightarrow{j} +2\overrightarrow{k}$ .

Решение:

Найдем по формуле $|\overrightarrow{s} |=\sqrt{s_{x}^{2} +s_{y}^{2} +s_{z}^{2} }$ длину вектора $\overrightarrow{s}$ :

$|\overrightarrow{s} |=\sqrt{2^{2} +1^{2} +2^{2} } =\sqrt{4+1+4} =\sqrt{9} =3.$

Найдем по формулам направляющие косинусы:

$\cos \alpha =\frac{2}{3} ;\cos \beta =\frac{1}{3} ;\cos \gamma =\frac{2}{3} .$

Следовательно,

$\frac{\partial w}{\partial s} =\frac{\partial w}{\partial x} \cdot \frac{2}{3} +\frac{\partial w}{\partial y} \cdot \frac{1}{3} +\frac{\partial w}{\partial z} \cdot \frac{2}{3} .$

Частные производные имеют вид:

$\frac{\partial w}{\partial x} =2x;\frac{\partial w}{\partial y} =4y;\frac{\partial w}{\partial z} =6z^{2} .$

Производные в точке $M(1;2;1)$ :

$\frac{\partial w}{\partial x} =2\cdot 1=2;\frac{\partial w}{\partial y} =4\cdot 2=8;\frac{\partial w}{\partial z} =6\cdot 1^{2} =6.$

Окончательно получаем:

$\frac{\partial w}{\partial s} =2\cdot \frac{2}{3} +8\cdot \frac{1}{3} +6\cdot \frac{2}{3} =\frac{4}{3} +\frac{12}{3} +\frac{12}{3} =\frac{28}{3} =9\frac{1}{3} .$

Дата последнего обновления статьи: 21.04.2024