Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$ в данной области.
Обозначение: $z=f(x,y)$.
Пусть дана функция $z=f(x,y)$двух независимых переменных $(x,y)$.
Так как переменные $(x,y)$ являются независимыми, то одна из них может изменяться, а другая при этом сохранять постоянное значение.
Дадим переменной $x$ приращение $\Delta x$, при этом сохраним значение переменной $y$ неизменным.
Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $x$. Обозначение:
Частная производная по переменной $x$ от заданной функции $z=f(x,y)$ - это предел отношения частного приращения $\Delta _{x} z$ заданной функции к приращению $\Delta x$ при $\Delta x\to 0$.
Обозначение: $z'_{x} ,\, \, f'_{x} (x,y),\, \, \frac{\partial z}{\partial x} ,\, \, \frac{\partial f}{\partial x} $.
По определению частной производной имеем:
\[\frac{\partial z}{\partial x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta _{x} z}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} .\]Дадим переменной $y$ приращение $\Delta y$, при этом сохраним значение переменной $x$ неизменным.
Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $y$. Обозначение:
Частная производная по переменной $y$ от заданной функции $z=f(x,y)$ - это предел отношения частного приращения $\Delta _{y} z$ заданной функции к приращению $\Delta y$ при $\Delta y\to 0$.
Обозначение: $z'_{y} ,\, \, f'_{y} (x,y),\, \, \frac{\partial z}{\partial y} ,\, \, \frac{\partial f}{\partial y} $.
По определению частной производной имеем:
\[\frac{\partial z}{\partial y} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta y\to 0} \frac{\Delta _{y} z}{\Delta y} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta y\to 0} \frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y} .\]Отметим, что правила вычисления частной производной от заданной функции совпадают с правилами вычисления производных от функции одной переменной. Однако при вычислении частной производной необходимо помнить о том, по какой переменной ищется частная производная.
Определить частные производные заданной функции:
\[z=x+y^{2} .\]Решение:
По определению частных производных получим:
$\frac{\partial z}{\partial x} =(x+y^{2} )'_{x} =1$ (по переменной $x$),
$\frac{\partial z}{\partial y} =(x+y^{2} )'_{y} =2y$ (по переменной $y$).
Определить частные производные заданной функции:
\[z=x^{2} +y^{3} \]в точке (1;2).
Решение:
По определению частных производных получим:
$\frac{\partial z}{\partial x} =(x^{2} +y^{3} )'_{x} =2x$ (по переменной $x$),
$\frac{\partial z}{\partial y} =(x^{2} +y^{3} )'_{y} =3y^{2} $ (по переменной $y$).
Значения частных производных в заданной точке:
\[\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1;2)} =2\cdot 1=2, \left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(1;2)} =3\cdot 2^{2} =12.\]Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z)$.
Если для каждой совокупности $(x,y,z,...,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,...,t)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z,...,t)$.
Для функции от трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются частные производные по каждой из переменных:
-
$\frac{\partial w}{\partial z} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta z\to 0} \frac{\Delta _{z} w}{\Delta z} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta z\to 0} \frac{f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)}{\Delta z} $;
-
$...$ ;
-
$\frac{\partial w}{\partial t} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta _{t} w}{\Delta t} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \frac{f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)}{\Delta t} $.
Определить частные производные заданной функции:
\[w=x+y^{2} +2z.\]Решение:
По определению частных производных получим:
$\frac{\partial w}{\partial x} =(x+y^{2} +2z)'_{x} =1$ (по переменной $x$),
$\frac{\partial w}{\partial y} =(x+y^{2} +2z)'_{y} =2y$ (по переменной $y$),
$\frac{\partial w}{\partial z} =(x+y^{2} +2z)'_{z} =2$ (по переменной $z$).
Определить частные производные заданной функции:
\[w=x+y^{2} +2\ln z\]в точке (1;2;1).
Решение:
По определению частных производных получим:
$\frac{\partial w}{\partial x} =(x+y^{2} +2\ln z)'_{x} =1$ (по переменной $x$),
$\frac{\partial w}{\partial y} =(x+y^{2} +2\ln z)'_{y} =2y$ (по переменной $y$),
$\frac{\partial w}{\partial z} =(x+y^{2} +2\ln z)'_{z} =\frac{2}{z} $ (по переменной $z$).
Значения частных производных в заданной точке:
\[\left. \frac{\partial w}{\partial x} \right|_{(1;2;1)} =1, \left. \frac{\partial w}{\partial y} \right|_{(1;2;1)} =2\cdot 2=4, \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right|_{(1;2;1)} =\frac{2}{1} =2.\]Определить частные производные заданной функции:
\[w=3\ln x+y^{2} +2z+...+t^{2} .\]Решение:
По определению частных производных получим:
$\frac{\partial w}{\partial x} =(3\ln x+y^{2} +2z+...+t^{2} )'_{x} =\frac{3}{x} $ (по переменной $x$),
$\frac{\partial w}{\partial y} =(3\ln x+y^{2} +2z+...+t^{2} )'_{y} =2y$ (по переменной $y$),
$\frac{\partial w}{\partial z} =(3\ln x+y^{2} +2z+...+t^{2} )'_{z} =2$ (по переменной $z$),
$...$
$\frac{\partial w}{\partial t} =(3\ln x+y^{2} +2z+...+t^{2} )'_{t} =2t$ (по переменной $t$).
