Непрерывность функции нескольких переменных

Источник статьи

Автор24 — учеба по твоим правилам

Определение 1

Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$ , то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$ в данной области.

Обозначение: $z=f(x,y)$ .

Пусть дана функция $z=f(x,y)$ двух независимых переменных $(x,y)$ .

Замечание 1

Так как переменные $(x,y)$ являются независимыми, то одна из них может изменяться, а другая при этом сохранять постоянное значение.

Дадим переменной $x$ приращение $\Delta x$ , при этом сохраним значение переменной $y$ неизменным.

Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $x$ . Обозначение:

Определение 2

Частная производная по переменной $x$ от заданной функции $z=f(x,y)$ - это предел отношения частного приращения $\Delta _{x} z$ заданной функции к приращению $\Delta x$ при $\Delta x\to 0$ .

Обозначение: $z'_{x} ,\, \, f'_{x} (x,y),\, \, \frac{\partial z}{\partial x} ,\, \, \frac{\partial f}{\partial x}$ .

Замечание 2

По определению частной производной имеем:

$\frac{\partial z}{\partial x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta _{x} z}{\Delta x} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} .$

Дадим переменной $y$ приращение $\Delta y$ , при этом сохраним значение переменной $x$ неизменным.

Тогда функция $z=f(x,y)$ получит приращение, которое будет называться частным приращением функции $z=f(x,y)$ по переменной $y$ . Обозначение:

«Непрерывность функции нескольких переменных» 👇

Помощь эксперта по теме работы

Найти эксперта

Решение задач от ИИ за 2 минуты

Решить задачу

Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов

Найти

Определение 3

Частная производная по переменной $y$ от заданной функции $z=f(x,y)$ - это предел отношения частного приращения $\Delta _{y} z$ заданной функции к приращению $\Delta y$ при $\Delta y\to 0$ .

Обозначение: $z'_{y} ,\, \, f'_{y} (x,y),\, \, \frac{\partial z}{\partial y} ,\, \, \frac{\partial f}{\partial y}$ .

Замечание 3

По определению частной производной имеем:

$\frac{\partial z}{\partial y} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta y\to 0} \frac{\Delta _{y} z}{\Delta y} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta y\to 0} \frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y} .$

Отметим, что правила вычисления частной производной от заданной функции совпадают с правилами вычисления производных от функции одной переменной. Однако при вычислении частной производной необходимо помнить о том, по какой переменной ищется частная производная.

Пример 1

Определить частные производные заданной функции:

$z=x+y^{2} .$

Решение:

По определению частных производных получим:

$\frac{\partial z}{\partial x} =(x+y^{2} )'_{x} =1$ (по переменной $x$ ),

$\frac{\partial z}{\partial y} =(x+y^{2} )'_{y} =2y$ (по переменной $y$ ).

Пример 2

Определить частные производные заданной функции:

$z=x^{2} +y^{3}$

в точке (1;2).

Решение:

По определению частных производных получим:

$\frac{\partial z}{\partial x} =(x^{2} +y^{3} )'_{x} =2x$ (по переменной $x$ ),

$\frac{\partial z}{\partial y} =(x^{2} +y^{3} )'_{y} =3y^{2}$ (по переменной $y$ ).

Значения частных производных в заданной точке:

$\left. \frac{\partial z}{\partial x} \right|_{(1;2)} =2\cdot 1=2, \left. \frac{\partial z}{\partial y} \right|_{(1;2)} =3\cdot 2^{2} =12.$

Определение 4

Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$ , то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z)$ .

Определение 5

Если для каждой совокупности $(x,y,z,...,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$ , то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,...,t)$ в данной области.

Обозначение: $w=f(x,y,z,...,t)$ .

Для функции от трех и более переменных, аналогично как для функции двух переменных определяются частные производные по каждой из переменных:

$\frac{\partial w}{\partial z} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta z\to 0} \frac{\Delta _{z} w}{\Delta z} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta z\to 0} \frac{f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z)}{\Delta z}$ ;
$...$ ;
$\frac{\partial w}{\partial t} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta _{t} w}{\Delta t} =\mathop{\lim }\limits_{\Delta t\to 0} \frac{f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t)}{\Delta t}$ .

Пример 3

Определить частные производные заданной функции:

$w=x+y^{2} +2z.$

Решение:

По определению частных производных получим:

$\frac{\partial w}{\partial x} =(x+y^{2} +2z)'_{x} =1$ (по переменной $x$ ),

$\frac{\partial w}{\partial y} =(x+y^{2} +2z)'_{y} =2y$ (по переменной $y$ ),

$\frac{\partial w}{\partial z} =(x+y^{2} +2z)'_{z} =2$ (по переменной $z$ ).

Пример 4

Определить частные производные заданной функции:

$w=x+y^{2} +2\ln z$

в точке (1;2;1).

Решение:

По определению частных производных получим:

$\frac{\partial w}{\partial x} =(x+y^{2} +2\ln z)'_{x} =1$ (по переменной $x$ ),

$\frac{\partial w}{\partial y} =(x+y^{2} +2\ln z)'_{y} =2y$ (по переменной $y$ ),

$\frac{\partial w}{\partial z} =(x+y^{2} +2\ln z)'_{z} =\frac{2}{z}$ (по переменной $z$ ).

Значения частных производных в заданной точке:

$\left. \frac{\partial w}{\partial x} \right|_{(1;2;1)} =1, \left. \frac{\partial w}{\partial y} \right|_{(1;2;1)} =2\cdot 2=4, \left. \frac{\partial w}{\partial z} \right|_{(1;2;1)} =\frac{2}{1} =2.$

Пример 5

Определить частные производные заданной функции:

$w=3\ln x+y^{2} +2z+...+t^{2} .$

Решение:

По определению частных производных получим:

$\frac{\partial w}{\partial x} =(3\ln x+y^{2} +2z+...+t^{2} )'_{x} =\frac{3}{x}$ (по переменной $x$ ),

$\frac{\partial w}{\partial y} =(3\ln x+y^{2} +2z+...+t^{2} )'_{y} =2y$ (по переменной $y$ ),

$\frac{\partial w}{\partial z} =(3\ln x+y^{2} +2z+...+t^{2} )'_{z} =2$ (по переменной $z$ ),

$...$

$\frac{\partial w}{\partial t} =(3\ln x+y^{2} +2z+...+t^{2} )'_{t} =2t$ (по переменной $t$ ).

Дата последнего обновления статьи: 17.03.2024