Функция двух переменных
Частным случаем функции многих переменных является функция двух переменных.
Если для каждой пары $(x,y)$ значений двух независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $z$, то говорят, что $z$ является функцией двух переменных $(x,y)$ в данной области.
Обозначение: $z=f(x,y)$.
Функция двух переменных может быть задана двумя способами:
- аналитический способ (формула; например, $P(x,y)=2\cdot (x+y)$ - периметр прямоугольника);
- табличный способ (двумерная таблица; пример приведен на рис. 1).
Рисунок 1.
Область определения (область существования) функции двух переменных $z=f(x,y)$ - это совокупность пар $(x,y)$, являющихся значениями переменных $x$ и $y$, при которых данная функция определена.
Область определения функции $z=f(x,y)$ может быть изображена на координатной плоскости совокупностью точек $(x,y)$.
Определить и изобразить область определения функции
\[P(x,y)=2\cdot (x+y).\]Решение:
Функция $P(x,y)=2\cdot (x+y)$ определена при любых значениях $(x,y)$.
Следовательно, область определения функции есть вся координатная плоскость $Oxy$ (рис. 2).
Рисунок 2.
Линия, которая ограничивает область определения на плоскости, называется границей области.
Точки области, которые не лежат на границе, называются внутренними точками данной области.
Если область состоит только из внутренних точек (не содержит граничных точек), то она называется открытой (незамкнутой).
Определить и изобразить область определения функции
\[z=\frac{1}{\sqrt{4-x^{2} -y^{2} } } .\]Решение:
Функция $z=\frac{1}{\sqrt{4-x^{2} -y^{2} } } $ определена при любых значениях $(x,y)$, удовлетворяющих неравенству $4-x^{2} -y^{2} >0$ или $x^{2} +y^{2}$ ∠ $4$.
Следовательно, область определения функции есть внутренняя часть круга радиуса $R=2$ с центром в начале координат.
Область определения является открытой, т.е. незамкнутой.
Рисунок 3.
Если область содержит и внутренние точки, и граничные точки, то она называется закрытой (замкнутой).
Определить и изобразить область определения функции
\[z=\sqrt{4-x^{2} -y^{2} } .\]Решение:
Функция $z=\sqrt{4-x^{2} -y^{2} } $ определена при любых значениях $(x,y)$, удовлетворяющих неравенству $4-x^{2} -y^{2} \ge 0$ или $x^{2} +y^{2} \le 4$.
Следовательно, область определения функции есть круг радиуса $R=2$ с центром в начале координат.
Область определения является закрытой, т.е. замкнутой.
Рисунок 4.
Понятие функции нескольких переменных не ограничивается рассмотрением только функции двух переменных. Данное понятие легко обобщается на количество переменных от трех и более.
Если для каждой тройки $(x,y,z)$ значений трех независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией трех переменных $(x,y,z)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z)$.
Если для каждой совокупности $(x,y,z,...,t)$ значений независимых переменных из некоторой области ставится в соответствие определенное значение $w$, то говорят, что $w$ является функцией переменных $(x,y,z,...,t)$ в данной области.
Обозначение: $w=f(x,y,z,...,t)$.
Понятие области определения для функции трех и более переменных вводится аналогично соответствующему определению понятия для функции двух переменных.
Графическое изображение функции двух переменных
Функцию двух переменных можно изобразить в пространстве с помощью графика.
Для этого на плоскости $Oxy$ необходимо найти точку $(x,y)$ и восстановить из нее перпендикуляр, на котором отложить отрезок длинной равной $f(x,y)$. Конец отрезка будет являться точкой графика функции (рис.5).
Рисунок 5.
Множество точек графика функции двух переменных образует некоторую поверхность.
Изобразить график функции
\[z=x^{2} +y^{2} .\]Решение:
Рисунок 6.
В пространстве невозможно изобразить с помощью графика функции трех и более переменных.
