Processing math: 100%
Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Квадрат суммы и квадрат разности

Бином Ньютона

Одними из основных формул сокращенного умножения является формулы квадрата суммы и квадрата разности двух одночленов.

Данные формулы можно вывести с помощью Бинома Ньютона.

Формула бинома Ньютона для натуральных чисел имеет следующий вид:

Здесь C0n, C1n,,Cn1n,Cnn -- коэффициенты Бинома Ньютона.

Коэффициенты разложения Бинома Ньютона можно находить с помощью треугольника Паскаля.

Треугольник Паскаля имеет следующую структуру (рис. 1).

Структура треугольника Паскаля

Рисунок 1. Структура треугольника Паскаля

Значения коэффициентов треугольника паскаля приведены в следующей таблице (рис. 2):

Коэффициенты треугольника Паскаля

Рисунок 2. Коэффициенты треугольника Паскаля

Формула квадрата суммы

Выведем с использованием формулы Бинома Ньютона формулу квадрата суммы (a+b)2. Из формулы Бинома Ньютона получаем:

Используя таблицу 2, получим:

Таким образом, квадрат суммы двух выражений равен сумме квадрата первого выражения с удвоенным произведением первого выражения на второе и квадратом второго выражения:

Пример 1: возвести в квадрат (2x+3y)

Используя формулу квадрата суммы, получим:

Замечание

!!! Здесь стоит обратить особое внимание, что формулу надо применяя к одночленам, входящим в сумму, целиком. Типичной ошибкой в данном случае бывает то, что зачастую в квадрат возводят только часть одночлена (к примеру, возводят не 2x целиком, а только x, что является ошибкой!!!)

«Квадрат суммы и квадрат разности» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Помощь с рефератом от нейросети
Написать ИИ

Формула квадрата разности

Найдем теперь формулу разности суммы. Для этого вначале представим выражение в следующем виде:

Воспользуемся формулой Бинома Ньютона:

Используя таблицу 2, получим:

Таким образом, квадрат разности двух выражений равен сумме квадрата первого выражения с квадратом второго выражения без удвоенного произведения первого выражения на второе:

Примеры задач на использование формул квадрата суммы и разности

Пример 1

Выполнить возведение в квадрат:

а) (9a+4b)2

б) (8a5b)2

в) (x27)2

Решение:

а) (9a+4b)2

Поменяем одночлены, стоящие в скобке, местами:

(9a+4b)2=(4b9a)2

Воспользуемся формулой квадрата разности:

(4b9a)2=(4b)224b9a+(9a)2=16b272ab+81a2

б) (8a5b)2

Так как квадрат всегда положительное число, то получим:

(8a5b)2=(8a+5b)2

Воспользуемся формулой квадрата суммы:

(8a+5b)2=(8a)2+25b8a+(5b)2=64a2+80ab+25b2

в) (x27)2

Воспользуемся формулой квадрата разности:

(x27)2=(x2)22x27+72=x414x2+49
Пример 2

Представить в виде квадрата:

а) 4a2+12a+9

б) x220xy2+100y4

Решение:

а) 4a2+12a+9

Воспользуемся формулой квадрата суммы:

4a2+12a+9=(2a)2+22a3+32=(2a+3)2

б) x220xy2+100y4

Воспользуемся формулой квадрата разности:

x220xy2+100y4=x22x10y2+(10y)2=(x10y)2
Дата последнего обновления статьи: 09.03.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Квадрат суммы и квадрат разности"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant