Бином Ньютона
Одними из основных формул сокращенного умножения является формулы квадрата суммы и квадрата разности двух одночленов.
Данные формулы можно вывести с помощью Бинома Ньютона.
Формула бинома Ньютона для натуральных чисел имеет следующий вид:
Здесь C0n, C1n,…,Cn−1n,Cnn -- коэффициенты Бинома Ньютона.
Коэффициенты разложения Бинома Ньютона можно находить с помощью треугольника Паскаля.
Треугольник Паскаля имеет следующую структуру (рис. 1).
Рисунок 1. Структура треугольника Паскаля
Значения коэффициентов треугольника паскаля приведены в следующей таблице (рис. 2):
Рисунок 2. Коэффициенты треугольника Паскаля
Формула квадрата суммы
Выведем с использованием формулы Бинома Ньютона формулу квадрата суммы (a+b)2. Из формулы Бинома Ньютона получаем:
Используя таблицу 2, получим:
Таким образом, квадрат суммы двух выражений равен сумме квадрата первого выражения с удвоенным произведением первого выражения на второе и квадратом второго выражения:
Пример 1: возвести в квадрат (2x+3y)
Используя формулу квадрата суммы, получим:
!!! Здесь стоит обратить особое внимание, что формулу надо применяя к одночленам, входящим в сумму, целиком. Типичной ошибкой в данном случае бывает то, что зачастую в квадрат возводят только часть одночлена (к примеру, возводят не 2x целиком, а только x, что является ошибкой!!!)
Формула квадрата разности
Найдем теперь формулу разности суммы. Для этого вначале представим выражение в следующем виде:
Воспользуемся формулой Бинома Ньютона:
Используя таблицу 2, получим:
Таким образом, квадрат разности двух выражений равен сумме квадрата первого выражения с квадратом второго выражения без удвоенного произведения первого выражения на второе:
Примеры задач на использование формул квадрата суммы и разности
Выполнить возведение в квадрат:
а) (−9a+4b)2
б) (−8a−5b)2
в) (x2−7)2
Решение:
а) (−9a+4b)2
Поменяем одночлены, стоящие в скобке, местами:
(−9a+4b)2=(4b−9a)2Воспользуемся формулой квадрата разности:
(4b−9a)2=(4b)2−2⋅4b⋅9a+(9a)2=16b2−72ab+81a2б) (−8a−5b)2
Так как квадрат всегда положительное число, то получим:
(−8a−5b)2=(8a+5b)2Воспользуемся формулой квадрата суммы:
(8a+5b)2=(8a)2+2⋅5b⋅8a+(5b)2=64a2+80ab+25b2в) (x2−7)2
Воспользуемся формулой квадрата разности:
(x2−7)2=(x2)2−2⋅x2⋅7+72=x4−14x2+49Представить в виде квадрата:
а) 4a2+12a+9
б) x2−20xy2+100y4
Решение:
а) 4a2+12a+9
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
4a2+12a+9=(2a)2+2⋅2a⋅3+32=(2a+3)2б) x2−20xy2+100y4
Воспользуемся формулой квадрата разности:
x2−20xy2+100y4=x2−2⋅x⋅10y2+(10y)2=(x−10y)2
