Бином Ньютона
Одними из основных формул сокращенного умножения является формулы квадрата суммы и квадрата разности двух одночленов.
Данные формулы можно вывести с помощью Бинома Ньютона.
Формула бинома Ньютона для натуральных чисел имеет следующий вид:
Здесь -- коэффициенты Бинома Ньютона.
Коэффициенты разложения Бинома Ньютона можно находить с помощью треугольника Паскаля.
Треугольник Паскаля имеет следующую структуру (рис. 1).
Рисунок 1. Структура треугольника Паскаля
Значения коэффициентов треугольника паскаля приведены в следующей таблице (рис. 2):
Рисунок 2. Коэффициенты треугольника Паскаля
Формула квадрата суммы
Выведем с использованием формулы Бинома Ньютона формулу квадрата суммы . Из формулы Бинома Ньютона получаем:
Используя таблицу 2, получим:
Таким образом, квадрат суммы двух выражений равен сумме квадрата первого выражения с удвоенным произведением первого выражения на второе и квадратом второго выражения:
Пример 1: возвести в квадрат
Используя формулу квадрата суммы, получим:
!!! Здесь стоит обратить особое внимание, что формулу надо применяя к одночленам, входящим в сумму, целиком. Типичной ошибкой в данном случае бывает то, что зачастую в квадрат возводят только часть одночлена (к примеру, возводят не целиком, а только , что является ошибкой!!!)
Формула квадрата разности
Найдем теперь формулу разности суммы. Для этого вначале представим выражение в следующем виде:
Воспользуемся формулой Бинома Ньютона:
Используя таблицу 2, получим:
Таким образом, квадрат разности двух выражений равен сумме квадрата первого выражения с квадратом второго выражения без удвоенного произведения первого выражения на второе:
Примеры задач на использование формул квадрата суммы и разности
Выполнить возведение в квадрат:
а)
б)
в)
Решение:
а)
Поменяем одночлены, стоящие в скобке, местами:
Воспользуемся формулой квадрата разности:
б)
Так как квадрат всегда положительное число, то получим:
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
в)
Воспользуемся формулой квадрата разности:
Представить в виде квадрата:
а)
б)
Решение:
а)
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
б)
Воспользуемся формулой квадрата разности:
