Если ряд объектов объединяются в одно целое по некоторому признаку, то говорят, что речь идет о совокупности - например, команда хоккеистов. Например совокупность книг называют- библиотекой, собрание музыкантов- оркестром, большое скопление людей- толпой
В математике для обозначения подобных совокупностей употребляют термин - множество. Т.е. математическим понятием, отражающим объединение некоторых объектов, предметов или понятий в единую совокупность, является понятие множества. Данное понятие является первичным, неопределяемым, таким же, как понятие точки и прямой в геометрии - значит, к более простым понятиям оно не сводится.
С рядом множеств вы уже знакомы: множество целых чисел, множество двузначных чисел, множество дробей со знаменателем $10$ и Т.Д.
Термин множество употребляется тогда, когда речь идет о нечисловых множеств. Например, говорят о множестве диагоналей многоугольника, о множестве точек на координатной прямой, о множестве прямых, проходящих через точку.
Предметы или объекты, образующие данное множество, называются его элементами. Например, число $5$ будет являться элементом множества натуральных чисел, а число $0,75$ не будет являться элементом множества натуральных чисел.
Виды множеств
Множества могут быть конечными и бесконечными, пустыми.
Например, множество двузначных чисел - конечно, т.к. содержит $90$ элементов, а множество рациональных чисел - бесконечное множество.
Конечным называют множество, состоящее из конечного числа элементов, но при этом конечное множество может иметь любое количество элементов.
Среди конечных множеств выделяют множество, не имеющее ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством.
Примером пустого множества может служить множество простых чисел, заключенных между числами $32$ и $37$.Так так таких элементов нет, то такое множество - это множество, которое называют пустым множеством. То есть пустое множество, это множество, не содержащие ни одного элемента.
Множество, не являющееся конечным называют бесконечным множеством.
Обозначение множеств и их элементов
Чаще всего множества обозначаются латинскими буквами- $A, B, C, B, C, D, X ,Y ,Z ,W$ и Т.Д.
Элементы множеств обозначаются строчными буквами $a,b,c,d,x,y,z$ и Т.Д.
Записать принадлежность некоторого элемента к некоторому множеству, например то, что некоторой элемент $a$ будет входить в множество $A$ математически можно так: $a\in A$.Прочитать данную запись можно так: a принадлежит множеству $A$.
Если же некоторый элемент, например $b$ не принадлежит множеству $B$, то это записывается так: $b\notin B$.Читают эту запись так: $b$ не принадлежит множеству $B$.
Например, если обозначить множество целых чисел за $A$, что тогда можно записать: $3\in A$, $7,5\notin B$
Пустое множество в математике обозначают так: ᴓ.
Способы задания множеств
Существует два глобально различных способа задания множеств.
Первый заключается в том, что множество задается указанием всех его элементов. В таком случае говорят, что множество задано перечислением всех своих элементов или списком своих элементов. Перечислением элементов можно задать только конечные множества и при небольшом количестве элементов, входящих в него.
Конечные множества с небольшим количеством элементов обычно записывают в фигурных скобках $\left\{a,b,c\right\}$
Если множество состоит на пример из $3$ элементов $a,b,c$ его можно обозначить так:$\left\{a,b,c\right\}$
При таком способе задания множеств говорят, что множество задано перечислением его элементов.
Обратим внимание, что каждый из указанных элементов входит во множество только один раз. Например, $\left\{a,b,b,c\right\}$ не будет являться множеством, потому что элемент $b$ включен дважды.
Второй способ задания множеств применим как для конечных. Так и для бесконечных множеств. Он заключается в том, что указывается свойство, которым обладает каждый элемент данного множества
В случае если задание множества перечислением элементов невозможно, т. е для обозначения бесконечного множества и для обозначения конечного множества с большим количеством элементов множество задают описанием, т.е. указав его характеристическое свойство, т. е свойство, которым обладают все элементы этого множества и не обладают никакие другие объекты.
Например, с помощью описания можно задать такие множество натуральных чисел от $1$ до $9$ включительно. Характеристическим свойством, т. е. свойством, которым обладают все элементы этого множества для данных элементов будет являться то, сто все они являются натуральными числами и каждое из них не меньше $1$ и не больше $9$. Перечислением указанное множество можно задать следующим образом:
$A=\left\{1\ ,2\ ,3,4,5,6,7,8,9\right\}$
Равенство множеств
Множества равны в том случае, если равны их элементы. При этом если множества состоят из одних и тех же элементов, но записанных в разном порядке то эти множества различны, хотя и равны.
Например, рассмотрим множества
$A=\left\{1\ ,2\ ,3,4,5,6,7,8,9\right\}$
$B=\left\{9,8,7,6,5,4,3,2,1\right\}$
Эти множества будут, состоят из равных элементов, значит, они будут равны, но при этом элементы расположены в разном порядке, т.е. множества различны.
