Основные понятия комбинаторики
Основными понятиями в комбинаторики являются понятия размещения, сочетания и перестановки. Введем их.
Всякий упорядоченный набор имеющий $k$ элементов, взятых из наперед заданных $n$ элементов без повторений, будем называть размещением из $n$ по $k$.
Математически, такое размещение обозначается и вычисляется следующим образом:
$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$
Всякий упорядоченный набор имеющий $n$ элементов, взятых из наперед заданных $n$ элементов без повторений, будем называть перестановкой из $n$.
Математически, такая перестановка обозначается и вычисляется следующим образом:
$P_n=n!$
Всякий неупорядоченный набор имеющий $k$ элементов, взятых из наперед заданных $n$ элементов без повторений, будем называть сочетанием из $n$ по $k$.
Математически, такое сочетание обозначается и вычисляется следующим образом:
$C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$
Основные понятия теории вероятностей
Основными понятиями теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.
Событием будем называть любое утверждение, которое может как произойти, так и не произойти.
Обычно события обозначаются большими английскими буквами.
Пример: $A$ – выпадение числа $6$ на кости.
В связи с тем, что событие может иметь две вариации исхода («произошло» и «не произошло») мы сталкиваемся с понятие вероятности такого события. Это понятие имеет $4$ основных определения.
Классическое определение.
Классическое определение связано с такими неопределяемыми понятиями как равновозможность и элементарность события. Интуитивно их можно понять на следующих примерах:
Равновозможность: При подбрасывании монеты она может упасть как аверсом, так и реверсом независимо от внешних условий. То есть можно сказать что вероятность выпадения одной или другой стороны по сути одинакова.
Элементарность события: Если на кости выпадет число $4$, то это означает, что числа $1, 2, 3, 5$ и $6$ уже не выпали.
Вероятностью события будем называть отношения числа $n$ равновозможных элементарных событий исходного события $B$ ко всем элементарным событиям $N$.
Математически это выглядит следующим образом:
$P(B)=\frac{n}{N}$
Геометрическое определение.
Геометрическое определение применяется для случая, когда количество равновозможных событий будет бесконечно. Здесь, для введения геометрического определения рассмотрим следующий пример. Для игры дартс берем круг площадью $S$ и разбиваем его на несколько кругов. Какова вероятность, что дротик попадет в центральный круг? (Исключим здесь случаи полного непопадания в поле). Очевидно что равновозможных событий здесь будет бесконечно (как и общих событий) так как круг содержит в себе бесконечное число точек.
Пусть площадь центрального круга равняется $s$. Тогда мы сталкиваемся с геометрическим определением вероятности такого события:
$P(B)=\frac{s}{S}$
Статистическое (частотное) определение.
Классическое определение довольно часто не учитывает всех возможностей. Рассматривая даже классический пример с бросанием кости мы пренебрегаем возможностью, что не выпадет никакого из шести чисел (кубик просто «остановится» на уголке). Поэтому вводят следующее определение вероятности, учитывающее все возможности. Рассматриваем $N$ наблюдений. Пусть нужное нам событие при этом выпало $n$ раз. Тогда
$P(B)=lim_{N→∞}\frac{n}{N}$
Аксиоматическое определение.
Данное определение задается с помощью аксиоматики Колмогорова.
Пусть $X$ - пространство всех элементарных событий. Тогда
Вероятностью события $B$ будем называть такую функцию $P(B)$, которая удовлетворяет следующим условиям:
- Данная функция всегда неотрицательна,
- Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из попарно несовместных событий равняется сумме их вероятностей.
- Функция всегда меньше или равна $1$, причем $P(X)=1$.
Пример задач
В корзине лежат $10$ разных зерен для высадки цветов. Нам нужно посадить всего $4$ так как у нас есть всего $4$ горшка. Сколькими способами мы можем посадить цветы в эти горшки?
Решение.
Вначале нам нужно вытащить из корзины $4$ наугад попавшихся зерна. То есть здесь мы имеем дело с сочетанием из $10$ зерен по $4$.
Получаем:
$C_n^k=\frac{10!}{(10-4)!4!}=\frac{10!}{6!4!}=\frac{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=210$
Четыре же зерна посадить в $4$ горшка можно
$P_4=4!=24$
способами.
Для нахождения окончательного результата нужно перемножить эти два, получим:
$210\cdot 24=5040$
Ответ: $5040$.
Найти вероятность того, что наугад вытащенная из колоды карта будет пиковой масти (сумма карт в колоде кратна $4$-м).
Решение.
Так как количество карт кратно четверке, то пусть всего карт будет $4k$. Тогда каждой масти карт будет $k$ штук (так как мастей $4$ и их количество одинаково).
При решении этой задачи будем использовать определение $5$. Во введенных нами обозначениях, получим что в определении $5$ мы будем иметь
$N=4k,n=k$
Следовательно
$P=\frac{k}{4k}=\frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$.
