В данной статье мы будем рассматривать понятие параллельного переноса в трехмерном пространстве. Но вначале нам надо рассмотреть такие понятия как отображение и движение в пространстве.
Понятие движения
Перед тем, как ввести понятие движения в пространстве, надо ввести определение отображения пространства на себя.
Отображением пространства на себя будем называть такое соответствие любой точке данного пространства какой-либо точке этого же пространства, в котором участвуют все точки из этого пространства.
Введем теперь, непосредственно, определение движения.
Движением пространства будем называть отображением пространства на себя, которое сохраняется расстояния между соответствующими точками.
Пример – рисунок 1.
Введем теперь несколько теорем, связанных с понятием движения без доказательства.
При движении треугольник будет отображаться на равный ему же треугольник.
При движении пирамида будет отображаться на равную ей пирамиду.
Основными примерами движений в геометрии являются осевая симметрия, центральная симметрия, зеркальная симметрия, поворот и параллельный перенос. Доказательство того, что параллельный перенос действительно является движением, нами будет рассмотрено ниже.
Параллельный перенос
Введем теперь, непосредственно, понятие параллельного переноса на какой-либо вектор. Пусть нам дан вектор ¯α.
Параллельным переносом на вектор ¯α будем называть такое отображение плоскости само на себя, при котором произвольная точка M отображается на такую точку M1, что выполняется равенство ¯MM1=¯α (Рис. 2).
Введем следующую теорему, связанную с понятием параллельного переноса.
Параллельный перенос - движение.
Доказательство.
Рассмотрим в пространстве две произвольные точки M и N. Будем рассматривать параллельный перенос на данный нам вектор ¯α. Пусть при нашем параллельном переносе данные нам точки отображаются, соответственно, в точки M1 и N1 (рис. 3).
Из определения 3 параллельного переноса получим, что ¯MM1=¯a, а ¯NN1=¯a, следовательно, получим, что ¯MM1=¯NN1.
Тогда, из определения равных векторов будем получать, что
|MM1|=|NN1|, MM1||NN1
Получаем, что четырехугольник MM1N1N будет являться параллелограммом и, как следствие, верно равенство: |MN|=|M1N1|. Отсюда получаем, что параллельный перенос будет сохранять расстояния, что и доказывает нашу теорему.
Пример задачи
Постройте параллельный перенос куба на вектор ¯h, изображенных на рисунке 4.
Решение.
Для построения параллельного переноса сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, параллельные заданному нам вектору ¯h (рис. 5).
Далее, для построения будем использовать определение 3. Точка X перейдет в такую точку X1, которая будет принадлежать прямой x. Точка Y перейдет в такую точку Y1, которая будет принадлежать прямой y. Точка Z перейдет в такую точку Z1, которая будет принадлежать прямой z. Точка O перейдет в такую точку O1, которая будет принадлежать прямой o. Точка X′ перейдет в такую точку X′1, которая будет принадлежать прямой a. Точка Y′ перейдет в такую точку Y′1, которая будет принадлежать прямой b. Точка Z′ перейдет в такую точку Z′1, которая будет принадлежать прямой c. Точка O′ перейдет в такую точку O′1, которая будет принадлежать прямой o′. Причем будут выполняться равенства:
¯XX1=¯h, ¯YY1=¯h, ¯ZZ1=¯h, ¯OO1=¯h, ¯X′X′1=¯h, ¯Y′Y′1=¯h, ¯Z′Z′1=¯h, ¯O′O′1=¯h
Отметим эти точки (рис. 6).
Соединив эти точки между собой, мы и получим искомый нами параллельный перенос на вектор ¯h (рис. 7).
