Справочник от Автор24
Найди эксперта для помощи в учебе
Найти эксперта
+2

Параллельный перенос

В данной статье мы будем рассматривать понятие параллельного переноса в трехмерном пространстве. Но вначале нам надо рассмотреть такие понятия как отображение и движение в пространстве.

Понятие движения

Перед тем, как ввести понятие движения в пространстве, надо ввести определение отображения пространства на себя.

Определение 1

Отображением пространства на себя будем называть такое соответствие любой точке данного пространства какой-либо точке этого же пространства, в котором участвуют все точки из этого пространства.

Введем теперь, непосредственно, определение движения.

Определение 2

Движением пространства будем называть отображением пространства на себя, которое сохраняется расстояния между соответствующими точками.

Пример – рисунок 1.

Введем теперь несколько теорем, связанных с понятием движения без доказательства.

При движении отрезок будет отображаться на ему же равный отрезок.

Теорема 2

При движении треугольник будет отображаться на равный ему же треугольник.

Теорема 3

При движении пирамида будет отображаться на равную ей пирамиду.

Основными примерами движений в геометрии являются осевая симметрия, центральная симметрия, зеркальная симметрия, поворот и параллельный перенос. Доказательство того, что параллельный перенос действительно является движением, нами будет рассмотрено ниже.

«Параллельный перенос» 👇
Помощь эксперта по теме работы
Найти эксперта
Решение задач от ИИ за 2 минуты
Решить задачу
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Найти

Параллельный перенос

Введем теперь, непосредственно, понятие параллельного переноса на какой-либо вектор. Пусть нам дан вектор ¯α.

Определение 3

Параллельным переносом на вектор ¯α будем называть такое отображение плоскости само на себя, при котором произвольная точка M отображается на такую точку M1, что выполняется равенство ¯MM1=¯α (Рис. 2).

Введем следующую теорему, связанную с понятием параллельного переноса.

Теорема 4

Параллельный перенос - движение.

Доказательство.

Рассмотрим в пространстве две произвольные точки M и N. Будем рассматривать параллельный перенос на данный нам вектор ¯α. Пусть при нашем параллельном переносе данные нам точки отображаются, соответственно, в точки M1 и N1 (рис. 3).

Из определения 3 параллельного переноса получим, что ¯MM1=¯a, а ¯NN1=¯a, следовательно, получим, что ¯MM1=¯NN1.

Тогда, из определения равных векторов будем получать, что

|MM1|=|NN1|, MM1||NN1

Получаем, что четырехугольник MM1N1N будет являться параллелограммом и, как следствие, верно равенство: |MN|=|M1N1|. Отсюда получаем, что параллельный перенос будет сохранять расстояния, что и доказывает нашу теорему.

Пример задачи

Пример 1

Постройте параллельный перенос куба на вектор ¯h, изображенных на рисунке 4.

Решение.

Для построения параллельного переноса сначала проведем через все точки тетраэдра прямые, параллельные заданному нам вектору ¯h (рис. 5).

Далее, для построения будем использовать определение 3. Точка X перейдет в такую точку X1, которая будет принадлежать прямой x. Точка Y перейдет в такую точку Y1, которая будет принадлежать прямой y. Точка Z перейдет в такую точку Z1, которая будет принадлежать прямой z. Точка O перейдет в такую точку O1, которая будет принадлежать прямой o. Точка X перейдет в такую точку X1, которая будет принадлежать прямой a. Точка Y перейдет в такую точку Y1, которая будет принадлежать прямой b. Точка Z перейдет в такую точку Z1, которая будет принадлежать прямой c. Точка O перейдет в такую точку O1, которая будет принадлежать прямой o. Причем будут выполняться равенства:

¯XX1=¯h, ¯YY1=¯h, ¯ZZ1=¯h, ¯OO1=¯h, ¯XX1=¯h, ¯YY1=¯h, ¯ZZ1=¯h, ¯OO1=¯h

Отметим эти точки (рис. 6).

Соединив эти точки между собой, мы и получим искомый нами параллельный перенос на вектор ¯h (рис. 7).

Дата последнего обновления статьи: 17.07.2024
Найди решение своей задачи среди 1 000 000 ответов
Крупнейшая русскоязычная библиотека студенческих решенных задач
Все самое важное и интересное в Telegram

Все сервисы Справочника в твоем телефоне! Просто напиши Боту, что ты ищешь и он быстро найдет нужную статью, лекцию или пособие для тебя!

Перейти в Telegram Bot

Изучаешь тему "Параллельный перенос"? Могу объяснить сложные моменты или помочь составить план для домашнего задания!

AI Assistant